大阪大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

$D=1-2a\cos t+a^2$ とおく。これは $D=(\cos t-a{)}^2+{\sin }^{2}t$ である。さらに $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<1$ だから、$D=0$ となることはなく、常に $D>0$ である。

定義より $$x={\displaystyle \frac{\cos t-a}{D}},y={\displaystyle \frac{\sin t}{D}}$$ であるから、$$x^2+y^2={\displaystyle \frac{(\cos t-a{)}^2+{\sin }^{2}t}{D^2}}={\displaystyle \frac{1}{D}}$$ となる。したがって $D={\displaystyle \frac{1}{x^2+y^2}}$ であり、$$\cos t-a={\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}},\sin t={\displaystyle \frac{y}{x^2+y^2}}$$ を得る。

これを ${\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1$ に代入すると$${(a+{\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}})}^2+{\left({\displaystyle \frac{y}{x^2+y^2}}\right)}^2=1$$である。両辺に $(x^2+y^2{)}^2$ を掛けて整理すると $$(1-a^2)(x^2+y^2)-2ax-1=0$$ となる。よって $${(x-{\displaystyle \frac{a}{1-a^2}})}^2+y^2={\displaystyle \frac{1}{(1-a^2{)}^2}}$$ である。

また $0\leqq t\leqq \pi$ より $\sin t\geqq 0$ であり、$D>0$ だから $y\geqq 0$ である。端点は$$t=0\text{で}({\displaystyle \frac{1}{1-a}},0),t=\pi \text{で}(-{\displaystyle \frac{1}{1+a}},0)$$となる。

逆に、上で得た円のうち $y\geqq 0$ を満たす点について $$\cos t=a+{\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}},\sin t={\displaystyle \frac{y}{x^2+y^2}}$$ とおけば、円の方程式から ${\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1$ が成り立ち、かつ $\sin t\geqq 0$ であるから $0\leqq t\leqq \pi$ の $t$ が取れる。したがって欠ける点はない。

ゆえに点 $P$ は、中心 $({\displaystyle \frac{a}{1-a^2}},0)$ 半径 ${\displaystyle \frac{1}{1-a^2}}$ の円のうち、$x$ 軸上およびその上側にある半円を描く。
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点 $P$ を表す複素数を $z=x+iy$ とする。与式の分母は
$\mathrm{\mid }{e}^{it}-a{\mathrm{\mid }}^2$ なので、$z=1\mathrm{/}(e^{-it}-a)$ と書ける。
したがって $\mathrm{\mid }1\mathrm{/}z+a\mathrm{\mid }=1$ を実部・虚部に分ければ円の方程式が得られる。
最後に虚部の符号と逆向きの対応を調べ、円周の上半分を過不足なく動くことを示す。

点 $P$ を表す複素数を $z=x+iy$ とおく。$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<1$ だから
$e^{it}-a$ は零にならない。与えられた式より$$z={\displaystyle \frac{e^{it}-a}{\mathrm{\mid }{e}^{it}-a{\mathrm{\mid }}^2}}={\displaystyle \frac{1}{e^{-it}-a}}$$である。したがって$$\mid {\displaystyle \frac{1}{z}}+a\mid =1$$が成り立つ。

$z=x+iy$, $x^2+y^2>0$ として実部と虚部に分けると$${(a+{\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}})}^2+{\left({\displaystyle \frac{y}{x^2+y^2}}\right)}^2=1.$$分母を払って整理すれば$$(1-a^2)(x^2+y^2)-2ax-1=0,$$すなわち$${(x-{\displaystyle \frac{a}{1-a^2}})}^2+y^2={\displaystyle \frac{1}{(1-a^2{)}^2}}$$を得る。

また元の表示で分母は正であり、$0\leqq t\leqq \pi$ では
$\sin t\geqq 0$ だから $y\geqq 0$ である。逆に、この円周上で
$y\geqq 0$ の点 $z$ を取ると、$\mathrm{\mid }1\mathrm{/}z+a\mathrm{\mid }=1$ であり、
$1\mathrm{/}z+a$ の虚部は $-y\mathrm{/}(x^2+y^2)\leqq 0$ である。よって$${\displaystyle \frac{1}{z}}+a=e^{-it}$$となる $0\leqq t\leqq \pi$ が存在する。したがって求める軌跡は、中心
$({\displaystyle \frac{a}{1-a^2}},0)$、半径
${\displaystyle \frac{1}{1-a^2}}$ の円の上半円であり、両端も含む。