大阪大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

$$f(x)=a\tan \left({\displaystyle \frac{\pi x}{4}}\right)-x-a+1$$ である。微分すると $$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{a\pi }{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2(\pi x\mathrm{/}4)}}-1$$ である。また $0<x<1$ では $$0<{\displaystyle \frac{\pi x}{4}}<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$ なので $$1<{\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2(\pi x\mathrm{/}4)}}<2$$ である。

(1) $a\leqq 0$ のときは $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ であり、極値はない。よって $a>0$ とする。 $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ は $${\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2(\pi x\mathrm{/}4)}}={\displaystyle \frac{4}{a\pi }}$$ と同値である。左辺は $0<x<1$ で1から2まで単調に増加するので、内部に解をもつ条件は $$1<{\displaystyle \frac{4}{a\pi }}<2$$ である。これを $a$ について解くと $${\displaystyle \frac{2}{\pi }}<a<{\displaystyle \frac{4}{\pi }}$$ である。

この範囲では $a>0$ であり、さらに$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{a{\pi }^2}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{\sin (\pi x\mathrm{/}4)}{{\cos }^3(\pi x\mathrm{/}4)}}>0(0<x<1)$$である。したがって $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ は単調に増加し、ただ1回だけ負から正に変わる。よって $f(x)$ はそこで減少から増加に移る。

したがって、このときの極値は $0\leqq x\leqq 1$ における $f(x)$ の最小値である。

(2)

端点の値は $$f(0)=1-a,f(1)=a\tan {\displaystyle \frac{\pi }{4}}-1-a+1=0$$ である。

まず $a\leqq 2\mathrm{/}\pi$ の場合を考える。このとき $0<x<1$ で $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ または端点に近づくところを除いて $f^{\mathrm{\prime }}(x)\leqq 0$ であり、$f$ は内部で増加しない。しかも $f(1)=0$ だから $f(x)>0(0<x<1)$ であり、内部に解はない。

次に $${\displaystyle \frac{2}{\pi }}<a<{\displaystyle \frac{4}{\pi }}$$ の場合を考える。このとき (1) より $f$ は一度だけ減少から増加に移る。

このうち $${\displaystyle \frac{2}{\pi }}<a<1$$ なら $f(0)=1-a>0$ である。また極小点より右側では $f$ は増加し、$f(1)=0$ であるから、$x=1$ の少し左では $f(x)<0$ である。よって中間値の定理により、$0<x<1$ に少なくとも1つ解がある。

さらに、減少部分では $f$ は高い値から低い値へ一度だけ通過するので0を高々1回しか通らない。増加部分では、$x<1$ の間は $f(x)<f(1)=0$ であるから、0を通らない。したがって、この場合の解はただ1つである。

一方、$$1\leqq a<{\displaystyle \frac{4}{\pi }}$$ なら $f(0)=1-a\leqq 0$ であり、そこからいったん減少してから $f(1)=0$ まで増加するので、内部では $f(x)<0$ である。したがって内部に解はない。

最後に $a\geqq 4\mathrm{/}\pi$ の場合は $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ または端点に近づくところを除いて $f^{\mathrm{\prime }}(x)\geqq 0$ であり、$f$ は内部で減少しない。しかも $a>1$ なので $$f(0)=1-a<0,f(1)=0$$ である。よって $0<x<1$ では $f(x)<0$ であり、内部に解はない。

以上より、方程式 $f(x)=0$ が $0<x<1$ に解をもつための条件は $${\displaystyle \frac{2}{\pi }}<a<1$$ であり、このとき解はただ1つに限る。

たとえば $2\mathrm{/}\pi <a<1$ のグラフは次の形になる。右端 $x=1$ も零点だが、開区間内の零点は減少部分に1つだけである。

極値条件と零点条件を、それぞれ $a$ について解く。(1)では $a=(4\mathrm{/}\pi ){\cos }^2(\pi x\mathrm{/}4)$ の値域、(2)では置換 $t=\pi (1-x)\mathrm{/}4$ により得る関数の単調性を調べる。

(1) $0<x<1$ で $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ となる条件を $a$ について解くと$$a={\displaystyle \frac{4}{\pi }}{\cos }^2\left({\displaystyle \frac{\pi x}{4}}\right)$$である。右辺は $x$ が0から1へ動くとき $4\mathrm{/}\pi$ から $2\mathrm{/}\pi$ へ狭義単調に減少する。したがって内部に停留点をもつ条件は$${\displaystyle \frac{2}{\pi }}<a<{\displaystyle \frac{4}{\pi }}$$である。

この範囲では $a>0$ であり$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{a{\pi }^2}{8}}{\displaystyle \frac{\sin (\pi x\mathrm{/}4)}{{\cos }^3(\pi x\mathrm{/}4)}}>0(0<x<1)\mathrm{.}$$よって $f^{\mathrm{\prime }}$ は狭義単調に増加し、ただ1つの停留点で負から正に変わる。その極値は $[0,1]$ 全体での最小値である。

(2) $0<x<1$ では $\tan (\pi x\mathrm{/}4)<1$ なので、$f(x)=0$ を $a$ について解いて$$a={\displaystyle \frac{1-x}{1-\tan (\pi x\mathrm{/}4)}}$$を得る。ここで$$t={\displaystyle \frac{\pi (1-x)}{4}}(0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$$とおく。加法定理により$$\tan \left({\displaystyle \frac{\pi x}{4}}\right)=\tan ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}-t)={\displaystyle \frac{1-\tan t}{1+\tan t}}$$だから$$a={\displaystyle \frac{2}{\pi }}t(1+\cot t)=:H(t)\mathrm{.}$$$G(t)=t(1+\cot t)$ とおくと$$G^{\mathrm{\prime }}(t)=1+\cot t-t{\csc }^{2}t\mathrm{.}$$これに ${\sin }^{2}t$ を掛けたものは$${\sin }^{2}t+\sin t\cos t-t$$である。その導関数は$$\sin 2t+\cos 2t-1\geqq 0(0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}})$$で、$t=0$ で0だから、$0<t<\pi \mathrm{/}4$ では $G^{\mathrm{\prime }}(t)>0$ である。よって $H$ は狭義単調に増加する。

さらに$$\underset{t\to 0+}{\lim }H(t)={\displaystyle \frac{2}{\pi }},H\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=1.$$したがって $0<x<1$ に解をもつための必要十分条件は$${\displaystyle \frac{2}{\pi }}<a<1$$であり、$H$ の狭義単調性から対応する $t$、したがって $x$ はただ1つである。