大阪大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
和積公式より$$\sin {\theta }_1+\sin {\theta }_2=2\sin {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}\cos {\displaystyle \frac{{\theta }_1-{\theta }_2}{2}}\mathrm{.}$$$0<\alpha <2\pi$ だから、最大値は $${\theta }_1={\theta }_2=\alpha \mathrm{/}2$$ のとき$$2\sin {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$$である。

(2) $$\gamma ={\theta }_1+{\theta }_2$$ と置き、(1) を二組へ用いると四つの正弦和は$$2\sin {\displaystyle \frac{\gamma }{2}}+2\sin {\displaystyle \frac{\beta -\gamma }{2}}=4\sin {\displaystyle \frac{\beta }{4}}\cos ({\displaystyle \frac{\gamma }{2}}-{\displaystyle \frac{\beta }{4}})$$以下である。最大は四つの角がすべて $\beta \mathrm{/}4$ のときである。$\beta =2\pi -{\theta }_5$ だから、その最大値は$$4\cos {\displaystyle \frac{{\theta }_5}{4}}\mathrm{.}$$(3)
$t={\theta }_5$ と置くと最大化すべき関数は$$F(t)=4\cos {\displaystyle \frac{t}{4}}+\sin t(0<t<2\pi )$$である。$$F^{\mathrm{\prime }}(t)=-\sin {\displaystyle \frac{t}{4}}+\cos t\mathrm{.}$$$0<t<\pi$ では $\cos t$ が減少し $\sin (t\mathrm{/}4)$ が増加するので、零点はただ一つである。$$t={\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$$は $$\cos (2\pi \mathrm{/}5)=\sin (\pi \mathrm{/}10)$$ よりその零点である。$\pi \leqq t\leqq 3\pi \mathrm{/}2$ では明らかに $F^{\mathrm{\prime }}<0$ であり、$3\pi \mathrm{/}2<t<2\pi$ でも $u=2\pi -t$ と置けば $\cos u<\cos (u\mathrm{/}4)$ から $F^{\mathrm{\prime }}<0$ である。

従って最大は全ての角が $2\pi \mathrm{/}5$ のときで$$5\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$$である。

$c=2\pi \mathrm{/}5$ における正弦曲線の接線が、区間 $(0,2\pi )$ 全体で正弦曲線の上にあることを示す。五つの不等式を加えれば一度に最大値が出る。

(1)
二つの角については和積公式から$$\sin {\theta }_1+\sin {\theta }_2\leqq 2\sin {\displaystyle \frac{\alpha }{2}},$$等号は $${\theta }_1={\theta }_2=\alpha \mathrm{/}2$$ のときに成り立つ。

(2)
これを二組へ適用し、二組の和にも和積公式を用いると$$\sin {\theta }_1+\sin {\theta }_2+\sin {\theta }_3+\sin {\theta }_4\leqq 4\sin {\displaystyle \frac{\beta }{4}}=4\cos {\displaystyle \frac{{\theta }_5}{4}}\mathrm{.}$$等号は四つの角が全て $\beta \mathrm{/}4$ のときに成り立つ。

(3) $$c={\displaystyle \frac{2\pi }{5}},L(x)=\sin c+\cos c(x-c)$$と置く。$G(x)=L(x)-\sin x$ とすれば$$G^{\mathrm{\prime }}(x)=\cos c-\cos x\mathrm{.}$$$G$ は $(0,c)$ で減少し、$(c,2\pi -c)$ で増加し、$(2\pi -c,2\pi )$ で再び減少する。しかも$$G(c)=0,G(2\pi )=\sin c+(2\pi -c)\cos c>0.$$従って $0<x<2\pi$ で$$\sin x\leqq \sin c+\cos c(x-c),$$等号は $x=c$ のときだけである。

これを五つの角へ用いて加えると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{i=1}^5\sin {\theta }_i}& {\displaystyle \leqq 5\sin c+\cos c(\sum _{i=1}^5{\theta }_i-5c)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =5\sin c\mathrm{.}}\end{array}$$等号は $${\theta }_1=\cdots ={\theta }_5=c$$ のときに成立する。従って最大値は$$5\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}\mathrm{.}$$