大阪大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $\sin A=\sin B$ より $A=B+2k\pi$ または $A=\pi -B+2k\pi$ である。ここで $A=ax,B=x$ とすると、解は $(a-1)x=2k\pi$ または $(a+1)x=(2k+1)\pi$ で与えられる。

正の解の候補のうち、前者の最小は $k=1$ による $\frac{2\pi }{a-1}$、後者の最小は $k=0$ による $\frac{\pi }{a+1}$ である。$a>1$ のもとで $$\frac{\pi }{a+1}<\frac{2\pi }{a-1}$$ だから、最小の正の解は $$\theta =\frac{\pi }{a+1}$$ である。

(2) $0<x<\theta$ では $$\sin ax-\sin x=2\cos \frac{(a+1)x}{2}\sin \frac{(a-1)x}{2}$$ である。この範囲では$$0<\frac{(a+1)x}{2}<\frac{\pi }{2},0<\frac{(a-1)x}{2}<\frac{\pi }{2}$$なので、右辺は正である。したがって面積は $$S(a)={\int }_0^{\theta }(\sin ax-\sin x)dx$$ である。積分して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(a)}& {\displaystyle ={[-\frac{\cos ax}{a}+\cos x]}_0^{\theta }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1-\cos a\theta }{a}-(1-\cos \theta )\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $$a\theta =\frac{a\pi }{a+1}=\pi -\frac{\pi }{a+1}=\pi -\theta$$ だから $$\cos a\theta =-\cos \theta$$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(a)}& {\displaystyle =\frac{1+\cos \theta }{a}-1+\cos \theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(a+1)\cos \theta -(a-1)}{a}\mathrm{.}}\end{array}$$ $$\theta =\frac{\pi }{a+1}$$ を代入して $$S(a)=\frac{(a+1)\cos {\displaystyle \frac{\pi }{a+1}}-(a-1)}{a}$$ を得る。

(3) $m=a+1$ とおくと $m\to \mathrm{\infty }$、$a=m-1$ であり、(2)の結果から$$(a+1)S(a)=\frac{m}{m-1}\{2-m(1-\cos \frac{\pi }{m})\}$$となる。$u\geqq 0$ に対して $$0\leqq 1-\cos u\leqq \frac{u^2}{2}$$ であるから $$0\leqq m(1-\cos \frac{\pi }{m})\leqq \frac{{\pi }^2}{2m}\to 0$$ である。また $\frac{m}{m-1}\to 1$ なので $$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a+1)S(a)=2$$ である。

交点は一般解から求める。面積の極限では最初から $u=(a+1)x$ と変数変換し、三角関数の差を一様に評価する。

(1)
$\sin ax=\sin x$ の正の解は$$x=\frac{2k\pi }{a-1}\text{または}x=\frac{(2k+1)\pi }{a+1}\mathrm{.}$$最小のものは $\theta =\pi \mathrm{/}(a+1)$ である。

(2)
$0<x<\theta$ では和積公式から $\sin ax>\sin x$ である。よって$$S(a)={\int }_0^{\theta }(\sin ax-\sin x)dx=\frac{(a+1)\cos {\displaystyle \frac{\pi }{a+1}}-(a-1)}{a}\mathrm{.}$$(3)
$u=(a+1)x$ と置けば$$(a+1)S(a)={\int }_0^{\pi }\{\sin (u-\frac{u}{a+1})-\sin \frac{u}{a+1}\}du\mathrm{.}$$平均値の定理から、$0\leqq u\leqq \pi$ で$$\mid \sin (u-\frac{u}{a+1})-\sin u\mid \leqq \frac{\pi }{a+1},\mid \sin \frac{u}{a+1}\mid \leqq \frac{\pi }{a+1}\mathrm{.}$$したがって被積分関数と $\sin u$ の差の絶対値は $2\pi \mathrm{/}(a+1)$ 以下である。
積分後も差は0へ収束するので$$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a+1)S(a)={\int }_0^{\pi }\sin udu=2.$$