大阪大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $X$ は $-n,-n+1,\dots ,n$ を同じ確率で取る。分布は $0$ を中心に対称なので $E(X)=0$ である。したがって $V(X)=E(X^2)$ である。
よって$$V(X)={\displaystyle \frac{1}{2n+1}}\sum _{j=-n}^n{j}^2={\displaystyle \frac{2}{2n+1}}\sum _{j=1}^n{j}^2$$であり、$$\sum _{j=1}^n{j}^2={\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$$を用いて $$V(X)={\displaystyle \frac{2}{2n+1}}\cdot {\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}={\displaystyle \frac{n(n+1)}{3}}$$ となる。

(2) $Z=k$ となるには $$X+Y=k,-n\leqq X\leqq n,-n\leqq Y\leqq n$$ であればよい。 $k\geqq 0$ のとき、$Y=k-X$ が $-n\leqq Y\leqq n$ を満たすには $k-n\leqq X\leqq n$ である。したがって組の個数は $n-(k-n)+1=2n+1-k$ である。$k<0$ のときも対称性により、組の個数は $2n+1-\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }$ である。
全体の組数は $(2n+1{)}^2$ だから、$\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }\leqq 2n$ に対して $$p_k={\displaystyle \frac{2n+1-\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }}{(2n+1{)}^2}}$$ である。

(3) $Z$ の分布も $0$ を中心に対称なので $E(Z)=0$ である。したがって$$V(Z)=E(Z^2)=\sum _{k=-2n}^{2n}{k}^2{p}_k$$である。(2) を代入すると$$V(Z)={\displaystyle \frac{2}{(2n+1{)}^2}}\sum _{k=1}^{2n}{k}^2(2n+1-k)$$となる。ここで$$\sum _{k=1}^{2n}{k}^2(2n+1-k)=(2n+1)\sum _{k=1}^{2n}{k}^2-\sum _{k=1}^{2n}{k}^3$$である。$$\sum _{k=1}^{2n}{k}^2={\displaystyle \frac{2n(2n+1)(4n+1)}{6}},\sum _{k=1}^{2n}{k}^3=\{n(2n+1){\}}^2$$以上の公式を代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V(Z)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{(2n+1{)}^2}}\{(2n+1){\displaystyle \frac{2n(2n+1)(4n+1)}{6}}-n^2(2n+1{)}^2\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\{{\displaystyle \frac{2n(4n+1)}{6}}-n^2\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2n(n+1)}{3}}}\end{array}$$である。

(1) は正負のカードを対にして平均と平方平均を求める。(2) は
$(X,Y)$ の格子正方形を直線 $X+Y=k$ で切り、対角線上の格子点数を数える。
(3) は (2) の対称性から平均が零であることを確認し、さらに二回の抽出の独立性を使って
$E((X+Y{)}^2)$ を展開する。

(1) $j$ と $-j$ を対にすると平均は
$E(X)=0$ である。したがって$$V(X)=E(X^2)={\displaystyle \frac{2}{2n+1}}\sum _{j=1}^n{j}^2={\displaystyle \frac{n(n+1)}{3}}\mathrm{.}$$(2) どの順序つきの組 $(X,Y)$ も確率
$1\mathrm{/}(2n+1{)}^2$ で起こる。$k\geqq 0$ なら
$X+Y=k$ を満たす範囲は$$k-n\leqq X\leqq n$$であり、整数 $X$ は $2n+1-k$ 個ある。$k<0$ では原点対称性により
$2n+1+k=2n+1-\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }$ 個である。よって$$p_k={\displaystyle \frac{2n+1-\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }}{(2n+1{)}^2}}(\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }\leqq 2n)\mathrm{.}$$(3) (2) の式は $p_{-k}=p_k$ を満たすので $E(Z)=0$ である。
またカードを戻してから二回目を引くため、$X$ と $Y$ は独立であり、
$E(X)=E(Y)=0$ である。したがって$$\begin{array}{rlrlr}{\displaystyle V(Z)}& {\displaystyle =E((X+Y{)}^2)}& {\displaystyle =E(X^2)+2E(XY)+E(Y^2)}& {\displaystyle =V(X)+2E(X)E(Y)+V(Y)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2n(n+1)}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$これは (2) の三角形状の分布から平方和を計算した値とも一致する。