大阪大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
$1\leqq k<n$ とする。最大値が $j$ で、その $j$ がちょうど $k$ 回出るとき、$j=2,3,4$ である。$j$ の位置を $k$ 個選び、残りは $1,\dots ,j-1$ から選ぶので$$P(A_k)={\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_k(1^{n-k}+2^{n-k}+3^{n-k})}{4^n}}(1\leqq k<n)\mathrm{.}$$$k=n$ では、すべてが同じ値ならよいから$$P(A_n)={\displaystyle \frac{4}{4^n}}\mathrm{.}$$(2)
上の式を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E_n=}& {\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{4^n}}\sum _{k=1}^{n-1}k{}_n{\mathrm{C}}_k(1^{n-k}+2^{n-k}+3^{n-k})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\displaystyle \frac{4n}{4^n}}\mathrm{.}}\end{array}$$任意の $r$ について$$\sum _{k=1}^{n-1}k{}_n{\mathrm{C}}_k{r}^{n-k}=n\{(r+1{)}^{n-1}-1\}$$だから$$E_n={\displaystyle \frac{n(1+2^{n-1}+3^{n-1}+4^{n-1})}{4^n}}\mathrm{.}$$したがって$${\displaystyle \frac{E_n}{n}}={\displaystyle \frac{1}{4^n}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{4}}{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$ゆえに$${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{E_n}{n}}={\displaystyle \frac{1}{4}}}\mathrm{.}$$最大値の位置を選び、残りにはそれより小さい値だけを入れる

(1) は最大値とその位置を数える。(2) では各回について『その値が全体の最大値に等しい』ことを表す0・1変数を置き、期待値の加法性を使う。

(1)
最大値を $j$ とする。$k<n$ なら $j=2,3,4$ であり、最大値の出る位置は ${}_n{\mathrm{C}}_k$ 通り、残りは $(j-1{)}^{n-k}$ 通りである。よって$$P(A_k)={\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_k}{4^n}}\sum _{j=2}^4(j-1{)}^{n-k}(1\leqq k<n)\mathrm{.}$$すなわち$$P(A_k)={\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_k(1^{n-k}+2^{n-k}+3^{n-k})}{4^n}}\mathrm{.}$$また $k=n$ なら4種類の定数列があるので$$P(A_n)={\displaystyle \frac{4}{4^n}}\mathrm{.}$$(2)
第 $i$ 回の値が、$n$ 個全体の最大値に等しいとき1、そうでないとき0となる量を $I_i$ とする。最大値の出現回数は$$I_1+I_2+\cdots +I_n$$である。各回は対称だから$${\displaystyle \frac{E_n}{n}}=P(I_1=1)\mathrm{.}$$第1回が $j$ で、残り $n-1$ 回がすべて $j$ 以下なら $I_1=1$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{E_n}{n}}}& {\displaystyle =\sum _{j=1}^4{\displaystyle \frac{1}{4}}{\left({\displaystyle \frac{j}{4}}\right)}^{n-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1+2^{n-1}+3^{n-1}+4^{n-1}}{4^n}}\mathrm{.}}\end{array}$$極限では $j=4$ の項だけが残るから$${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{E_n}{n}}={\displaystyle \frac{1}{4}}}\mathrm{.}$$