大阪大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
1回目の番号が $i$ の人を $i$ 番目と呼ぶ。袋Bから相異なる番号を割り当て、$i$ 番目には $i$ より大きい番号を与える割り当て数を $F(n,m)$ とする。

$n$ 番目へ与えられる番号は $n+1,\dots ,m$ の $m-n$ 通りである。一つを除き、それより大きい残存番号を1ずつ詰めても、残る $1,\dots ,n-1$ 番目の条件は変わらない。従って$$F(n,m)=(m-n)F(n-1,m-1)\mathrm{.}$$$F(0,m)=1$ から$$F(n,m)=(m-n{)}^n\mathrm{.}$$全割り当て数は $m!\mathrm{/}(m-n)!$ なので$$P_{n,m}={\displaystyle \frac{(m-n{)}^n(m-n)!}{m!}}\mathrm{.}$$(2)
$m=2n$ では$$P_{n,2n}={\displaystyle \frac{n^{n}n!}{(2n)!}}\mathrm{.}$$$\log x$ の増加性による積分比較から$$\log N!=N\log N-N+o(N)$$である。従って$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{n}}\log P_{n,2n}}& {\displaystyle =\log n+{\displaystyle \frac{1}{n}}\log n!-{\displaystyle \frac{1}{n}}\log (2n)!}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-2\log 2+o(1)\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}\log P_{n,2n}=1-2\log 2.$$

$n$ 番目から逆順に配り、各段階が常に $m-n$ 択と数える。極限は確率を積にしてRiemann和へ直す。

(1)
$n,n-1,\dots ,1$ 番目の順に袋Bのカードを配る。$i$ 番目の段階では、$i$ より大きい $m-i$ 枚のうち $n-i$ 枚が使用済みなので、選択肢は$$(m-i)-(n-i)=m-n$$枚である。従って有利な割り当ては $(m-n{)}^n$ 通りであり$$P_{n,m}={\displaystyle \frac{(m-n{)}^n}{m(m-1)\cdots (m-n+1)}}\mathrm{.}$$(2)
$m=2n$ とすると$$P_{n,2n}={\displaystyle \frac{n}{n+1}}\cdot {\displaystyle \frac{n}{n+2}}\cdots {\displaystyle \frac{n}{2n}}\mathrm{.}$$よって$${\displaystyle \frac{1}{n}}\log P_{n,2n}=-{\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{j=n+1}^{2n}\log {\displaystyle \frac{j}{n}}\mathrm{.}$$右辺は$$-{\int }_1^2\log xdx$$へ収束するRiemann和である。従って$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}\log P_{n,2n}=-{[x\log x-x]}_1^2=1-2\log 2.$$