大阪大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
取り出す $k$ 個の玉の組はすべて同様に確からしく、その総数は ${}_n{\mathrm{C}}_k$ である。

最大の番号が $i$ になるには、番号 $i$ の玉を取り、残り $k-1$ 個を $1,2,\dots ,i-1$ から選べばよい。したがって $i\geqq k$ のとき $$p_i={\displaystyle \frac{{}_{i-1}{\mathrm{C}}_{k-1}}{{}_n{\mathrm{C}}_k}}$$ である。一方、$i<k$ では $k$ 個を取り出して最大が $i$ になることはできないので $p_i=0$ である。

よって$$p_i=\{\begin{array}{ll}0& (1\leqq i<k),\\ {\displaystyle \frac{{}_{i-1}{\mathrm{C}}_{k-1}}{{}_n{\mathrm{C}}_k}}& (k\leqq i\leqq n)\end{array}$$である。

(2)
まず和の公式を証明する。 $$F_i={\displaystyle \frac{i(i+1)\cdots (i+l)}{l+1}}$$ とおく。ただし $F_0=0$ と考える。すると $$F_i-F_{i-1}={\displaystyle \frac{i(i+1)\cdots (i+l)-(i-1)i\cdots (i+l-1)}{l+1}}$$ である。右辺の分子から $i(i+1)\cdots (i+l-1)$ をくくると $$\{(i+l)-(i-1)\}i(i+1)\cdots (i+l-1)=(l+1)i(i+1)\cdots (i+l-1)$$ となる。したがって $$F_i-F_{i-1}=i(i+1)\cdots (i+l-1)$$ である。

これを $i=1$ から $m$ まで加えると中間の項が消えて$$\sum _{i=1}^{m}i(i+1)\cdots (i+l-1)=F_m-F_0={\displaystyle \frac{m(m+1)\cdots (m+l)}{l+1}}$$となり、公式が示された。

次に期待値を求める。(1)より$$E(X)=\sum _{i=k}^{n}i{\displaystyle \frac{{}_{i-1}{\mathrm{C}}_{k-1}}{{}_n{\mathrm{C}}_k}}$$である。ここで $$i{}_{i-1}{\mathrm{C}}_{k-1}=k{}_i{\mathrm{C}}_k$$ なので$$E(X)={\displaystyle \frac{k}{{}_n{\mathrm{C}}_k}}\sum _{i=k}^n{}_i{\mathrm{C}}_k$$である。

いま $${}_i{\mathrm{C}}_k={\displaystyle \frac{(i-k+1)(i-k+2)\cdots i}{k!}}$$ である。$j=i-k+1$ とおくと、上で示した公式から $$\sum _{i=k}^n{}_i{\mathrm{C}}_k={}_{n+1}{\mathrm{C}}_{k+1}$$を得る。したがって $$E(X)={\displaystyle \frac{k{}_{n+1}{\mathrm{C}}_{k+1}}{{}_n{\mathrm{C}}_k}}$$ である。

最後に組合せを約分すると $${\displaystyle \frac{{}_{n+1}{\mathrm{C}}_{k+1}}{{}_n{\mathrm{C}}_k}}={\displaystyle \frac{n+1}{k+1}}$$ だから $$E(X)={\displaystyle \frac{k(n+1)}{k+1}}$$ である。

$X=i$ では $i$ を必ず選び、残りを $1,\dots ,i-1$ から選ぶ

確率分布は最大値 $i$ を必ず選ぶ組合せで求める。
積の和の公式は数学的帰納法で証明する。期待値は分布を直接足さず、
正整数値確率変数の期待値を尾確率の和で表し、
$X<j$ となる選び方を数える。

(1)
最大値が $i$ なら $i$ を必ず選び、残り $k-1$ 個を
$1,\dots ,i-1$ から選ぶ。したがって$$p_i=\{\begin{array}{ll}0& (1\leqq i<k),\\ {\displaystyle \frac{{}_{i-1}{\mathrm{C}}_{k-1}}{{}_n{\mathrm{C}}_k}}& (k\leqq i\leqq n)\mathrm{.}\end{array}$$(2)
与えられた積の和の公式は $m=1$ で成り立つ。$m$ で成り立つと
仮定して次の項 $(m+1)(m+2)\cdots (m+l)$ を加えると、
$m+1,\dots ,m+l$ をくくることで$${\displaystyle \frac{(m+1)(m+2)\cdots (m+l+1)}{l+1}}$$となる。よって数学的帰納法で公式が示された。

正整数値をとる $X$ について$$E(X)=\sum _{j=1}^{n}P(X\geqq j)$$である。$X<j$ となるのは $1,\dots ,j-1$ から全ての玉を
選ぶ場合だから$$P(X<j)={\displaystyle \frac{{}_{j-1}{\mathrm{C}}_k}{{}_n{\mathrm{C}}_k}}\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(X)}& {\displaystyle =n-{\displaystyle \frac{1}{{}_n{\mathrm{C}}_k}}\sum _{j=1}^n{}_{j-1}{\mathrm{C}}_k}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =n-{\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_{k+1}}{{}_n{\mathrm{C}}_k}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =n-{\displaystyle \frac{n-k}{k+1}}={\displaystyle \frac{k(n+1)}{k+1}}\mathrm{.}}\end{array}$$