大阪大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
停止前の色は交互に現れる。$1\leqq l\leqq N-1$ のとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_{2l}}& {\displaystyle =p^{l+1}{q}^{l-1}+q^{l+1}{p}^{l-1}=r^{l-1}(p^2+q^2)=r^{l-1}(1-2r),}\\ {\displaystyle P_{2l+1}}& {\displaystyle =p^l{q}^{l+1}+q^l{p}^{l+1}=r^l\mathrm{.}}\end{array}$$また、$2N-1$ 回目まで交互なら、最後の色によらず $2N$ 回で終わる。したがって$$P_{2N}=p^N{q}^{N-1}+q^N{p}^{N-1}=r^{N-1}\mathrm{.}$$(2)
(1)を代入すると$$E=\sum _{l=1}^{N-1}2l{r}^{l-1}(1-2r)+\sum _{l=1}^{N-1}(2l+1)r^l+2N{r}^{N-1}\mathrm{.}$$定数項は $2$ である。また $1\leqq j\leqq N-2$ に対する $r^j$ の係数は$$(1-2j)+2(j+1)=3,$$$r^{N-1}$ の係数も $(3-2N)+2N=3$ である。よって$$E=2+3(r+r^2+\cdots +r^{N-1}),A=2,B=3.$$(3)
$p+q=1$ より $0<r=pq\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。したがって$$r+r^2+\cdots +r^{N-1}\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}+{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2+\cdots <{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{4}}}{1-{\displaystyle \frac{1}{4}}}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$(2)の式から $E<2+3\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}=3$ である。

停止する並びを赤始まり・白始まりに分けて各 $P_k$ を求める。期待値は $E=\sum P(T>j)$ という尾の確率の和で計算すると係数が自然に3となる。最後は $pq\leqq 1\mathrm{/}4$ と等比級数で評価する。

停止回数を $T$ とする。

(1)
$2l$ 回で止まるには、最初の $2l-1$ 回が交互で、最後に直前と同じ色が出ればよい。赤始まりと白始まりを足すと、$1\leqq l\leqq N-1$ について$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_{2l}}& {\displaystyle =p^{l+1}{q}^{l-1}+q^{l+1}{p}^{l-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =r^{l-1}(p^2+q^2)=r^{l-1}(1-2r),}\\ {\displaystyle P_{2l+1}}& {\displaystyle =p^{l+1}{q}^l+q^{l+1}{p}^l=r^l\mathrm{.}}\end{array}$$上限に達する場合は、最初の $2N-1$ 回が交互であればよいから$$P_{2N}=p^N{q}^{N-1}+q^N{p}^{N-1}=r^{N-1}\mathrm{.}$$(2)
正の整数値を取る $T$ について$$E=\sum _{j=0}^{2N-1}P(T>j)$$が成り立つ。必ず2回目までは続くので $P(T>0)=P(T>1)=1$ である。また $1\leqq l\leqq N-1$ に対して、最初の $2l$ 回が交互である確率は$$P(T>2l)=2p^l{q}^l=2r^l,$$最初の $2l+1$ 回が交互である確率は$$P(T>2l+1)=p^{l+1}{q}^l+q^{l+1}{p}^l=r^l\mathrm{.}$$したがって$$E=2+3(r+r^2+\cdots +r^{N-1})\mathrm{.}$$よって $A=2$、$B=3$ である。

(3)
$p+q=1$ だから相加相乗平均より $0<r=pq\leqq 1\mathrm{/}4$ である。したがって$$r+r^2+\cdots +r^{N-1}<{\displaystyle \frac{r}{1-r}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$ゆえに$$E=2+3(r+r^2+\cdots +r^{N-1})<3$$である。