大阪大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
円の中心は $P(0,a)$ であり、点 $A(-1,0)$, $B(1,0)$ を通るので、半径 $r$ は $r^2=a^2+1$ を満たす。特に $r>1$ である。

円の方程式は $x^2+(y-a{)}^2=r^2$ である。$x$ 軸より下にある弧では $$y=a-\sqrt{r^2-x^2}$$ だから $$f(x)=a-\sqrt{r^2-x^2}$$ である。したがって $$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}}$$ となり、$$1+\{f^{\mathrm{\prime }}(x){\}}^2=1+{\displaystyle \frac{x^2}{r^2-x^2}}={\displaystyle \frac{r^2}{r^2-x^2}}$$ である。

よって$$I={\int }_{-1}^1{\displaystyle \frac{r^2}{r^2-x^2}}dx$$である。ここで$$\int {\displaystyle \frac{r^2}{r^2-x^2}}dx={\displaystyle \frac{r}{2}}\log {\displaystyle \frac{r+x}{r-x}}$$だから、$$I={\displaystyle \frac{r}{2}}{[\log {\displaystyle \frac{r+x}{r-x}}]}_{-1}^1=r\log {\displaystyle \frac{r+1}{r-1}}$$である。

(2)
(1) より$$I=r\log {\displaystyle \frac{r+1}{r-1}}=r\{\log (1+{\displaystyle \frac{1}{r}})-\log (1-{\displaystyle \frac{1}{r}})\}$$である。 $r\to \mathrm{\infty }$ のとき $1\mathrm{/}r\to 0$ である。与えられた極限を $h=1\mathrm{/}r$ に用いると$$r\log (1+{\displaystyle \frac{1}{r}})={\displaystyle \frac{\log (1+{\displaystyle \frac{1}{r}})}{{\displaystyle \frac{1}{r}}}}⟶1$$である。また $h=-1\mathrm{/}r$ とおけば$$r\log (1-{\displaystyle \frac{1}{r}})=-{\displaystyle \frac{\log (1-{\displaystyle \frac{1}{r}})}{-{\displaystyle \frac{1}{r}}}}⟶-1$$である。したがって$$\underset{r\to \mathrm{\infty }}{\lim }I=1-(-1)=2$$である。
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円の下側の弧を式で表し、被積分関数を $r^2\mathrm{/}(r^2-x^2)$ にする。
(1) は部分分数分解して対数を得る。(2) は対数の極限を使わず、
$-1\leqq x\leqq 1$ における被積分関数を定数で上下から挟んで極限を決める。

(1) 円の方程式は$$x^2+(y-a{)}^2=r^2,r^2=a^2+1$$である。下側の弧では$$f(x)=a-\sqrt{r^2-x^2},f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}}\mathrm{.}$$よって$$1+\{f^{\mathrm{\prime }}(x){\}}^2={\displaystyle \frac{r^2}{r^2-x^2}}\mathrm{.}$$$r>1$ なので区間内で分母は正である。部分分数分解$${\displaystyle \frac{r^2}{r^2-x^2}}={\displaystyle \frac{r}{2}}({\displaystyle \frac{1}{r+x}}+{\displaystyle \frac{1}{r-x}})$$を用いると$$I={\int }_{-1}^1{\displaystyle \frac{r^2}{r^2-x^2}}dx=r\log {\displaystyle \frac{r+1}{r-1}}\mathrm{.}$$(2) $-1\leqq x\leqq 1$ では $0\leqq x^2\leqq 1$ だから$$1\leqq {\displaystyle \frac{r^2}{r^2-x^2}}\leqq {\displaystyle \frac{r^2}{r^2-1}}\mathrm{.}$$区間 $[-1,1]$ で積分して$$2\leqq I\leqq {\displaystyle \frac{2r^2}{r^2-1}}$$を得る。$r\to \mathrm{\infty }$ のとき右端は $2$ に近づくので、挟み撃ちの原理から$$\underset{r\to \mathrm{\infty }}{\lim }I=2.$$