大阪大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
接点を $P=(p,y)(y>0)$ とする。関数値と傾きが一致するので$$y=\sqrt{p-c}=e^{ap},{\displaystyle \frac{1}{2y}}=ay\mathrm{.}$$よって$$y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2a}}},p=-{\displaystyle \frac{\log (2a)}{2a}}\mathrm{.}$$さらに $p-c=y^2=1\mathrm{/}(2a)$ だから$$P=(-{\displaystyle \frac{\log (2a)}{2a}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2a}}}),c=-{\displaystyle \frac{\log (2a)+1}{2a}}\mathrm{.}$$なお $c>0$ より$$0<a<{\displaystyle \frac{1}{2e}}\mathrm{.}$$(2)
求める面積を $K$ とすると$$K={\int }_0^p{e}^{ax}dx-{\int }_c^p\sqrt{x-c}dx\mathrm{.}$$ここで$${\int }_0^p{e}^{ax}dx={\displaystyle \frac{1}{a\sqrt{2a}}}-{\displaystyle \frac{1}{a}},$$また$${\int }_c^p\sqrt{x-c}dx={\displaystyle \frac{2}{3}}{\left({\displaystyle \frac{1}{2a}}\right)}^{3\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{1}{3a\sqrt{2a}}}\mathrm{.}$$したがって$$K={\displaystyle \frac{2}{3a\sqrt{2a}}}-{\displaystyle \frac{1}{a}}\mathrm{.}$$(3)
$Q=(c,0)$ であり、直線 $PQ$ と共通接線 $l$ の傾きはそれぞれ$${\displaystyle \frac{y}{p-c}}=\sqrt{2a},ay=\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{2}}}\mathrm{.}$$前者の方が大きいので$$\tan \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{2a}-\sqrt{a\mathrm{/}2}}{1+\sqrt{2a}\sqrt{a\mathrm{/}2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{a\mathrm{/}2}}{1+a}}\mathrm{.}$$これを $1\mathrm{/}4$ に等しくして2乗すると$$a^2-6a+1=0,$$よって $a=3\pm 2\sqrt{2}$ である。条件 $a<1\mathrm{/}(2e)$ を満たすのは小さい方だけだから$$a=3-2\sqrt{2}\mathrm{.}$$図は条件を満たす一例。$PQ$ は共通接線より急である

2曲線を $x$ の式 $x=y^2+c$、$x=(\log y)\mathrm{/}a$ として扱う。接線条件も $dx\mathrm{/}dy$ の一致で出し、面積は横長の短冊で積分する。

(1)
2曲線を $y>0$ で逆向きに表すと$$C_1:x=y^2+c,C_2:x={\displaystyle \frac{\log y}{a}}\mathrm{.}$$接点の高さを $Y$ とする。接線が共通であることは、逆向きの傾きも等しいことを意味するから$$2Y={\displaystyle \frac{1}{aY}}\mathrm{.}$$よって$$Y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2a}}}\mathrm{.}$$接点の $x$ 座標を $p$ とすれば$$p={\displaystyle \frac{\log Y}{a}}=-{\displaystyle \frac{\log (2a)}{2a}},$$また $c=p-Y^2$ より$$c=-{\displaystyle \frac{\log (2a)+1}{2a}}\mathrm{.}$$(2)
$C_2$ は $(0,1)$ を通る。横長の短冊を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle K=}& {\displaystyle {\int }_0^1(c+y^2)dy}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_1^Y(c+y^2-{\displaystyle \frac{\log y}{a}})dy\mathrm{.}}\end{array}$$まとめれば$$K=cY+{\displaystyle \frac{Y^3}{3}}-{\displaystyle \frac{Y\log Y-Y+1}{a}}\mathrm{.}$$ここで $c=(\log Y)\mathrm{/}a-Y^2$、$Y^2=1\mathrm{/}(2a)$ を代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle K}& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{2}{3}}{Y}^3+{\displaystyle \frac{Y-1}{a}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3a\sqrt{2a}}}-{\displaystyle \frac{1}{a}}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)
$PQ$ と $l$ の傾きは $\sqrt{2a}$、$\sqrt{a\mathrm{/}2}$ である。したがって$$\tan \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{a\mathrm{/}2}}{1+a}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$これより $a=3\pm 2\sqrt{2}$ を得る。$c>0$ は $a<1\mathrm{/}(2e)$ と同値なので$$a=3-2\sqrt{2}$$だけが適する。