大阪大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
球の中心を $C=(0,0,1)$ とし、与えられた点を $P=(0,1,3)$ とする。接点を $T=(x,y,z)$ とおく。

接点では、半径 $CT$ と接線 $PT$ が垂直であるから $$\overrightarrow{CT}\cdot \overrightarrow{PT}=0$$ である。ここで $$\overrightarrow{PT}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CT}$$ なので $$\overrightarrow{CT}\cdot \overrightarrow{PC}+\mathrm{\mid }\overrightarrow{CT}{\mathrm{\mid }}^2=0$$ となる。球の半径は $1$ だから $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{CT}{\mathrm{\mid }}^2=1$$ である。

また $$\overrightarrow{PC}=(0,-1,-2),\overrightarrow{CT}=(x,y,z-1)$$ である。よって $-y-2(z-1)+1=0$ となり、整理して $y+2z=3$ を得る。これが接点全体のある平面である。

(2)
直線が $xy$ 平面と交わる点を $S=(X,Y,0)$ とする。直線 $PS$ の方向ベクトルは $$\overrightarrow{PS}=(X,Y-1,-3)$$ である。また $$\overrightarrow{PC}=(0,-1,-2)$$ である。

直線 $PS$ が球に接するための条件は、中心 $C$ から直線 $PS$ までの距離が半径 $1$ に等しいことである。そこで、$\overrightarrow{PC}$ のうち直線方向に沿う成分を取り除いて距離を計算する。

距離の2乗は$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{PC}{\mathrm{\mid }}^2-{\displaystyle \frac{(\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PS}{)}^2}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{PS}{\mathrm{\mid }}^2}}$$である。ここで $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{PC}{\mathrm{\mid }}^2=5,$$ $$\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PS}=7-Y,$$ $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{PS}{\mathrm{\mid }}^2=X^2+(Y-1{)}^2+9$$ である。したがって接する条件は $$5-{\displaystyle \frac{(7-Y{)}^2}{X^2+(Y-1{)}^2+9}}=1$$ である。

これを整理すると $$4\{X^2+(Y-1{)}^2+9\}=(7-Y{)}^2$$ であり、$4X^2+3Y^2+6Y-9=0$ を得る。

したがって、求める $xy$ 平面上の曲線は $4x^2+3y^2+6y-9=0$ である。平方完成すると $4x^2+3(y+1{)}^2=12$ とも書ける。

接点条件は半径と接線の直交、軌跡条件は中心から直線までの距離で表す

接点 $T$ を球面上に置き、接線との直交条件から接点平面を得る。
$xy$ 平面上の交点 $S$ から接点までの内分係数を、接点平面との
交わりとして求める。その座標を球面方程式へ代入して $T$ を消去する。

(1)
球の中心を $C=(0,0,1)$、外部点を $P=(0,1,3)$、接点を
$T=(x,y,z)$ とする。$CT\perp PT$ だから$$\overrightarrow{CT}\cdot \overrightarrow{PT}=0.$$球面上であることと合わせて整理すると$$y+2z=3$$を得る。

(2)
$xy$ 平面上の交点を $S=(X,Y,0)$ とし、直線 $PS$ を$$P+\lambda (S-P)$$と表す。接点は平面 $y+2z=3$ 上にあるから、代入して$$7+\lambda (Y-7)=3,\lambda ={\displaystyle \frac{4}{7-Y}}$$である。したがって接点座標は$$T=({\displaystyle \frac{4X}{7-Y}},1+{\displaystyle \frac{4(Y-1)}{7-Y}},3-{\displaystyle \frac{12}{7-Y}})\mathrm{.}$$これを球面方程式$$x^2+y^2+(z-1{)}^2=1$$に代入して分母を払うと$$4X^2+3Y^2+6Y-9=0.$$よって求める曲線は$$4x^2+3(y+1{)}^2=12$$である。