大阪大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

球は $zx$ 平面、つまり $y=0$ に原点で接している。半径が2で、点 $A(2,4,0)$ と同じ側にあるから、中心は $C=(0,2,0)$ である。

(1) $$\overrightarrow{AB}=B-A=(-2,-9,6),\overrightarrow{AC}=C-A=(-2,-2,0)$$である。したがって内積は$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(-2)(-2)+(-9)(-2)+6\cdot 0=22$$である。

次に三角形 $ABC$ の面積を $\mathrm{\Delta }$ とする。2辺の長さと内積を用いると$$(2\mathrm{\Delta }{)}^2=\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }\overrightarrow{AC}{\mathrm{\mid }}^2-(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}{)}^2$$である。ここで$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}{\mathrm{\mid }}^2=4+81+36=121,\mathrm{\mid }\overrightarrow{AC}{\mathrm{\mid }}^2=4+4=8$$だから $$(2\mathrm{\Delta }{)}^2=121\cdot 8-{22}^2=968-484=484$$ となる。よって $2\mathrm{\Delta }=22$ であり、$\mathrm{\Delta }=11$ である。

(2)
直線 $AB$ 上の点を $$(X,Y,Z)=(2,4,0)+t(-2,-9,6)$$ とおく。すなわち $$X=2-2t,Y=4-9t,Z=6t$$ である。球面の方程式は $x^2+(y-2{)}^2+z^2=4$ なので、代入すると $$(2-2t{)}^2+(2-9t{)}^2+(6t{)}^2=4$$ である。左辺を整理して $8-44t+121t^2=4$ すなわち $121t^2-44t+4=0$ を得る。これは $(11t-2{)}^2=0$ であるから $$t={\displaystyle \frac{2}{11}}$$ である。したがって共有点は$$(2-{\displaystyle \frac{4}{11}},4-{\displaystyle \frac{18}{11}},{\displaystyle \frac{12}{11}})=({\displaystyle \frac{18}{11}},{\displaystyle \frac{26}{11}},{\displaystyle \frac{12}{11}})$$である。なお方程式が重解になるので、この直線は球に接しており、共有点は1点である。

中心 $C$ から直線 $AB$ へ下ろした垂線の足を求める。その距離が球の半径2に等しいことから接線であることと接点が同時に分かり、三角形の面積も底辺と高さで計算できる。

球の中心を $C$ とすると、接する平面は $y=0$、半径は2であり、$A$ と同じ側にあるから$$C=(0,2,0)$$である。

(1) $$\overrightarrow{AB}=(-2,-9,6),\overrightarrow{AC}=(-2,-2,0)$$より$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=22.$$また $\mathrm{\mid }AB\mathrm{\mid }=11$ である。中心 $C$ から直線 $AB$ への距離を $d$ とすれば、後で示すように $d=2$ だから$$\mathrm{△}ABC={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 11\cdot 2=11$$である。

(2)
直線 $AB$ 上の点を$$H=A+t(B-A)$$と置く。$CH\perp AB$ となる垂線の足では$$\{A+t(B-A)-C\}\cdot (B-A)=0.$$したがって$$t={\displaystyle \frac{(C-A)\cdot (B-A)}{\mathrm{\mid }B-A{\mathrm{\mid }}^2}}={\displaystyle \frac{22}{121}}={\displaystyle \frac{2}{11}}\mathrm{.}$$よって$$H=({\displaystyle \frac{18}{11}},{\displaystyle \frac{26}{11}},{\displaystyle \frac{12}{11}})\mathrm{.}$$さらに$$\mathrm{\mid }CH{\mathrm{\mid }}^2={\left({\displaystyle \frac{18}{11}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{4}{11}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{12}{11}}\right)}^2=4$$であるから $\mathrm{\mid }CH\mathrm{\mid }=2$ である。これは球の半径に等しく、しかも $CH\perp AB$ なので、直線 $AB$ は球に $H$ で接する。したがって共有点は上の1点である。また、この計算から(1)で用いた $d=2$ も確認できた。