大阪大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

球は $zx$ 平面、つまり $y=0$ に原点で接している。半径が2で、点 $P(2,4,0)$ と同じ側にあるから、中心は $Q=(0,2,0)$ である。また $R$ は $yz$ 平面上の曲線 $C$ 上にあるので、実数 $z$ を用いて $$R=(0,4-{\displaystyle \frac{z^2}{4}},z)$$ とおける。

(1) $$\overrightarrow{PQ}=Q-P=(-2,-2,0)$$ であり、$$\overrightarrow{PR}=R-P=(-2,-{\displaystyle \frac{z^2}{4}},z)$$ である。したがって$$\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{PR}=4+{\displaystyle \frac{z^2}{2}}={\displaystyle \frac{z^2+8}{2}}$$である。また $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{PQ}\mathrm{\mid }=2\sqrt{2}$$ であり、$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{PR}{\mathrm{\mid }}^2=4+{\displaystyle \frac{z^4}{16}}+z^2={\displaystyle \frac{(z^2+8{)}^2}{16}}$$ より $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{PR}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{z^2+8}{4}}$$ である。よって$$\cos \mathrm{\angle }QPR={\displaystyle \frac{\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{PR}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{PQ}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\overrightarrow{PR}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$となる。したがって $\mathrm{\angle }QPR={45}^{\circ }$ である。

(2)
直線 $PR$ 上の点を $(X,Y,Z)=P+t(R-P)$ とおく。すなわち $$X=2-2t,Y=4-{\displaystyle \frac{t{z}^2}{4}},Z=tz$$ である。球面の方程式は $x^2+(y-2{)}^2+z^2=4$ であるから、これを代入すると $$(2-2t{)}^2+{(2-{\displaystyle \frac{t{z}^2}{4}})}^2+t^2{z}^2=4$$ である。整理すると $${\displaystyle \frac{(z^2+8{)}^2}{16}}{t}^2-(z^2+8)t+4=0$$ すなわち $\{t(z^2+8)-8{\}}^2=0$ である。したがって共有点に対応する値は $$t={\displaystyle \frac{8}{z^2+8}}$$ である。

このとき共有点の座標は$$(2-{\displaystyle \frac{16}{z^2+8}},4-{\displaystyle \frac{2z^2}{z^2+8}},{\displaystyle \frac{8z}{z^2+8}})$$である。整理して$$({\displaystyle \frac{2z^2}{z^2+8}},{\displaystyle \frac{2(z^2+16)}{z^2+8}},{\displaystyle \frac{8z}{z^2+8}})$$となる。この点では $$x+y={\displaystyle \frac{2z^2+2(z^2+16)}{z^2+8}}=4$$ が常に成り立つ。したがって求める平面は $\alpha :x+y=4$ である。この平面は $z$ を含まない方程式で表されるので、$xy$ 平面に垂直である。

(3)
中心 $Q=(0,2,0)$ から平面 $x+y=4$ までの距離は $${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }0+2-4\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+1^2}}}=\sqrt{2}$$ である。球の半径は2なので、小さい部分は中心から距離 $\sqrt{2}$ の平面より外側にある部分である。

中心から平面に垂直な向きを $u$ 軸にとると、断面円の半径の二乗は $4-u^2$ である。小さい部分は $\sqrt{2}\leqq u\leqq 2$ に対応するから、体積 $V$ は$$V=\pi {\int }_{\sqrt{2}}^2(4-u^2)du$$である。よって $$V=\pi {[4u-{\displaystyle \frac{u^3}{3}}]}_{\sqrt{2}}^2$$ となり、$$V=\pi ({\displaystyle \frac{16}{3}}-4\sqrt{2}+{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}})={\displaystyle \frac{(16-10\sqrt{2})\pi }{3}}$$である。

一定角 ${45}^{\circ }$ と $PQ=2\sqrt{2}$ から、直線 $PR$ が球の接線になることを距離で示す。接点における半径と接線の直交条件から接点の平面を求め、体積は球冠の公式で計算する。

球の中心は $Q=(0,2,0)$、半径は2である。また$$R=(0,4-{\displaystyle \frac{z^2}{4}},z)$$と置ける。

(1) $$\overrightarrow{PQ}=(-2,-2,0),\overrightarrow{PR}=(-2,-{\displaystyle \frac{z^2}{4}},z)$$である。内積と長さを求めると$$\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{PR}={\displaystyle \frac{z^2+8}{2}},\mathrm{\mid }PQ\mathrm{\mid }=2\sqrt{2},\mathrm{\mid }PR\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{z^2+8}{4}}\mathrm{.}$$よって $\cos \mathrm{\angle }QPR=1\mathrm{/}\sqrt{2}$ であり、$\mathrm{\angle }QPR={45}^{\circ }$ である。

(2)
点 $Q$ から直線 $PR$ までの距離は$$\mathrm{\mid }PQ\mathrm{\mid }\sin {45}^{\circ }=2$$で、球の半径に等しい。したがって $PR$ は球の接線である。その接点を $X=(x,y,z)$ とする。半径 $QX$ と接線 $PX$ は直交するから$$(X-Q)\cdot (P-X)=0.$$したがって$$(X-Q)\cdot (P-Q)=\mathrm{\mid }X-Q{\mathrm{\mid }}^2=4.$$$P-Q=(2,2,0)$ を代入すると$$2x+2(y-2)=4,$$すなわち、すべての接点は$$\alpha :x+y=4$$上にある。この平面は $z$ の項を持たないので $xy$ 平面に垂直である。

(3)
中心 $Q$ から平面 $\alpha$ までの距離は $\sqrt{2}$ である。半径を $R=2$ とすると、小さい球冠の高さは$$h=R-\sqrt{2}=2-\sqrt{2}\mathrm{.}$$球冠の体積公式 $V=\pi h^2(R-h\mathrm{/}3)$ より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi (2-\sqrt{2}{)}^2(2-{\displaystyle \frac{2-\sqrt{2}}{3}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(16-10\sqrt{2})\pi }{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$