大阪大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

$S$ の半径を $R$、中心を $(p,q,z_0)$ とする。$S$ は $yz$ 平面、すなわち $x=0$ に接し、かつ $x\geqq 0$ の側に含まれるので、中心から $x=0$ までの距離は半径に等しく $p=R$ である。同様に $xy$ 平面、すなわち $z=0$ に接し、$z\geqq 0$ の側に含まれるので $z_0=R$ である。したがって中心は $(p,q,p)$ で表され、半径も $p$ である。

与えられた球面の中心は $(1,1,1)$、半径は1である。$S$ とこの球面が外接するための条件は、中心間距離が半径の和 $p+1$ に等しいことである。よって $$\sqrt{(p-1{)}^2+(q-1{)}^2+(p-1{)}^2}=p+1$$ である。両辺は非負なので2乗してよく、整理すると $$2(p-1{)}^2+(q-1{)}^2=(p+1{)}^2$$ すなわち $p^2-6p+(q-1{)}^2+1=0$ である。平方完成して $(p-3{)}^2+(q-1{)}^2=8$ を得る。

ただし、$S$ が第一八分空間 $x\geqq 0,y\geqq 0,z\geqq 0$ にすべて含まれるには、$y=0$ 平面から中心までの距離も半径以上でなければならない。中心の $y$ 座標は $q$、半径は $p$ だから $q\geqq p$ が必要であり、またこの条件があれば $y\geqq 0$ 側からはみ出さない。

したがって点 $(p,q)$ の軌跡は $$(p-3{)}^2+(q-1{)}^2=8,q\geqq p$$ である。これは中心 $(3,1)$、半径 $2\sqrt{2}$ の円のうち、直線 $q=p$ 以上にある部分である。端点は $q=p$ を代入して $(p-3{)}^2+(p-1{)}^2=8$ より $p=2\pm \sqrt{3}$ だから $(2-\sqrt{3},2-\sqrt{3}),(2+\sqrt{3},2+\sqrt{3})$ である。

中心の候補円を角で表示し、球が $y=0$ を越えない条件を角の不等式へ変えて、端点を含む円弧を確定する。

接平面までの距離から、半径を $p$、中心を $C=(p,q,p)$ と書ける。
固定球の中心を $I=(1,1,1)$ とすると、外接条件 $CI=p+1$ は$$(p-3{)}^2+(q-1{)}^2=8$$に等しい。ここから円弧を角で表示する。$$p=3+2\sqrt{2}\cos \varphi ,q=1+2\sqrt{2}\sin \varphi \mathrm{.}$$球が $y\geqq 0$ に収まる条件は $q\geqq p$、すなわち$$2\sqrt{2}(\sin \varphi -\cos \varphi )\geqq 2.$$この不等式を満たす部分だけが軌跡である。端点では $q=p$ だから$$(p-3{)}^2+(p-1{)}^2=8,$$よって $p=2\pm \sqrt{3}$ である。したがって軌跡は中心 $(3,1)$、半径 $2\sqrt{2}$ の円のうち
直線 $q=p$ 以上の弧で、端点$$(2-\sqrt{3},2-\sqrt{3}),(2+\sqrt{3},2+\sqrt{3})$$を含む。