大阪大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
$P=(0,u,v)$ と置くと$$u^2+v^2=2,u\leqq 0.$$$\mathrm{△}PAB$ 内の点は、非負の $\lambda ,\mu ,\nu$ を用いて$$\lambda P+\mu A+\nu B,\lambda +\mu +\nu =1$$と表せる。$x=t$ では $\mu -\nu =t$ であるから$$0\leqq \lambda \leqq 1-\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$その $yz$ 座標は$$(y,z)=(1,0)+\lambda \{(u,v)-(1,0)\}\mathrm{.}$$従って $\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }\leqq 1$ の切り口は、$t=0$ の切り口を点 $(1,0)$ を中心に比 $1-\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }$ で縮小した図形であり、$\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }>1$ では空である。

中央断面は半径 $\sqrt{2}$ の左半円と、底辺 $2\sqrt{2}$、高さ1の三角形からなる。$$S_0=\pi +\sqrt{2}\mathrm{.}$$(2)
切り口の面積は$$S(t)=(1-\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }{)}^2(\pi +\sqrt{2})$$なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{vol}(K)}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^{1}S(t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(\pi +\sqrt{2}){\int }_0^1(1-t{)}^{2}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}(\pi +\sqrt{2})\mathrm{.}}\end{array}$$

中央断面 $D$ を先に求める。正負それぞれの $x$ 側では断面が直線的に縮むため、立体を底面 $D$、高さ1の二つの錐体とみなす。

(1)
$x=0$ の切り口を $D$ とする。$D$ は $yz$ 平面で、点 $(1,0)$ と左半円$$u^2+v^2=2,u\leqq 0$$の各点を結ぶ線分全体である。

$0\leqq t\leqq 1$ では、$x=t$ の切り口は $D$ を点 $(1,0)$ を中心に比 $1-t$ で縮小したものになる。同様に $-1\leqq t\leqq 0$ では比 $1+t$ である。従って切り口は、二つの線分と$$(y-\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }{)}^2+z^2=2(1-\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }{)}^2,y\leqq \mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }$$の半円弧で囲まれる。

(2)
$D$ の面積は半円と三角形の和で$$[D]=\pi +\sqrt{2}\mathrm{.}$$$K\cap \{x\geqq 0\}$ は頂点 $A$、底面 $D$、高さ1の錐体であり、$K\cap \{x\leqq 0\}$ は頂点 $B$ をもつ同じ大きさの錐体である。従って$$\mathrm{vol}(K)=2\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}[D]\cdot 1={\displaystyle \frac{2}{3}}(\pi +\sqrt{2})\mathrm{.}$$