大阪大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\sqrt{a}(3x^2-3)=3\sqrt{a}(x^2-1)$$ である。$a>0$ なので $$\sqrt{a}>0$$ であり、$f^{\mathrm{\prime }}(x)$ の符号は $x^2-1$ の符号で決まる。したがって $x=-1$ で極大値をとり、$x=1$ で極小値をとる。ゆえに $$\alpha =-1,\beta =1$$ である。

(2) $$s=\sqrt{a}$$ とおく。すると $$A=(-1,2s),B=(1,-2s)$$ である。線分 $AB$ の中点は原点であり、$$\overrightarrow{AB}=(2,-4s)$$ である。 $AB$ を一辺とする正三角形の第3頂点を $D$ とする。中点から $D$ へ向かうベクトルは、$\overrightarrow{AB}$ に垂直で、長さが ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\mathrm{\mid }AB\mathrm{\mid }$ である。したがって $$D=(2\sqrt{3}s,\sqrt{3})\text{または}D=(-2\sqrt{3}s,-\sqrt{3})$$ である。

また $A+B=(0,0)$ だから、重心 $G$ は $D$ の座標を3で割った点である。よって$$G=({\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}s,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}})\text{または}G=(-{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}s,-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}})$$である。ここで $$s=\sqrt{a}>0$$ であるから、$G$ の描く図形は $$y={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}},x>0$$ および $$y=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}},x<0$$ の2本の半直線である。端点 $(0,\pm \sqrt{3}\mathrm{/}3)$ は $a>0$ のため含まれない。

(3)
まず $$G=({\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}s,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}})$$ の場合を調べる。この点が $y=f(x)$ 上にあるための条件は$${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}=s\{{\left({\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}s\right)}^3-3\cdot {\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}s\}$$である。右辺を整理すると$$s({\displaystyle \frac{8\sqrt{3}}{9}}{s}^3-2\sqrt{3}s)=\sqrt{3}({\displaystyle \frac{8}{9}}{s}^4-2s^2)$$なので、両辺を $\sqrt{3}$ で割って $${\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{8}{9}}{s}^4-2s^2$$ を得る。すなわち $8s^4-18s^2-3=0$ である。

もう一方の重心 $$G=(-{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}s,-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}})$$ を代入しても、$f$ が奇関数型の式 $s(x^3-3x)$ であるため同じ条件になる。ここで $s^2=a$ とおくと $8a^2-18a-3=0$ である。よって $$a={\displaystyle \frac{18\pm \sqrt{{18}^2+96}}{16}}={\displaystyle \frac{9\pm \sqrt{105}}{8}}$$ となる。$a>0$ より負の値は除かれるから $$a={\displaystyle \frac{9+\sqrt{105}}{8}}$$ である。

辺 $AB$ を ${60}^{\circ }$ 回転して正三角形の第3頂点を求める。重心は3頂点の座標平均なので軌跡が直ちに出る。最後はその軌跡を3次曲線へ代入する。

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3\sqrt{a}(x^2-1)$$である。増減を調べると $x=-1$ で極大、$x=1$ で極小となるので$$\alpha =-1,\beta =1$$である。

(2) $$s=\sqrt{a}>0$$ と置けば$$A=(-1,2s),B=(1,-2s),\overrightarrow{AB}=(2,-4s)\mathrm{.}$$ベクトル $(x,y)$ を ${60}^{\circ }$ 回転すると$$({\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}y}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}x}{2}}+{\displaystyle \frac{y}{2}})$$となる。これを $\overrightarrow{AB}$ に用い、始点を $A$ とすると、第3頂点の一つは$$D_{+}=A+(1+2\sqrt{3}s,\sqrt{3}-2s)=(2\sqrt{3}s,\sqrt{3})$$である。$-{60}^{\circ }$ 回転から、もう一つは$$D_{-}=(-2\sqrt{3}s,-\sqrt{3})$$となる。$A+B=(0,0)$ なので重心は $D_{\pm }\mathrm{/}3$ である。したがって軌跡は$$y={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}},x>0,y=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}},x<0$$という2本の半直線であり、端点は含まない。

(3)
上側の重心$$G=({\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}s,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}})$$を $y=s(x^3-3x)$ に代入する。整理すると$${\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{8}{9}}{s}^4-2s^2,8s^4-18s^2-3=0.$$下側の重心についても、曲線が原点対称なので同じ条件となる。$s^2=a$ より$$8a^2-18a-3=0.$$$a>0$ を満たす解だけを取って$$a={\displaystyle \frac{9+\sqrt{105}}{8}}$$を得る。