大阪大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
袋 $i$ が選ばれる確率はそれぞれ $1\mathrm{/}3$ である。袋 $i$ が選ばれたとき、その袋から赤玉が取り出される確率は $x_i\mathrm{/}{n}_i$ である。したがって $$P=\frac{1}{3}(\frac{x_1}{n_1}+\frac{x_2}{n_2}+\frac{x_3}{n_3})$$ である。

(2)
条件 $n_1<n_2<n_3$ より $$\frac{1}{n_1}>\frac{1}{n_2}>\frac{1}{n_3}$$ である。したがって、同じ赤玉1個を入れるなら、番号の小さい袋に入れるほど $P$ は大きくなる。

これを交換で確認する。もし $i<j$、$x_i<n_i$、$x_j>0$ なら、袋 $j$ から赤玉を1個減らし、袋 $i$ に1個増やすことができる。このとき $x_1+x_2+x_3=N$ は保たれ、$P$ の増加量は $$\frac{1}{3}(\frac{1}{n_i}-\frac{1}{n_j})>0$$ である。よって最大のときには、袋1から順に可能な限り赤玉が入っていなければならない。

まず袋1には最大まで入れるので $x_1=n_1$ である。残りの赤玉は $N-n_1$ 個である。 $N-n_1\leqq n_2$、すなわち $n_3\leqq n_1+n_2$ のとき、残りは袋2にすべて入る。したがって $$x_1=n_1,x_2=N-n_1,x_3=0$$ である。このとき $$P_{\max }=\frac{1}{3}(1+\frac{N-n_1}{n_2})$$ であり、$N=(n_1+n_2+n_3)\mathrm{/}2$ を用いると $$P_{\max }=\frac{1}{3}(1+\frac{n_2+n_3-n_1}{2n_2})$$ となる。 $N-n_1>n_2$、すなわち $n_3>n_1+n_2$ のとき、袋2にも最大まで入れ、残りを袋3に入れる。したがって $$x_1=n_1,x_2=n_2,x_3=N-n_1-n_2$$ である。このとき $$P_{\max }=\frac{1}{3}(2+\frac{N-n_1-n_2}{n_3})$$ であり、同じく $N=(n_1+n_2+n_3)\mathrm{/}2$ より $$P_{\max }=\frac{1}{3}(2+\frac{n_3-n_1-n_2}{2n_3})$$ である。