大阪大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $P=(x,y)$ とおき、接線の傾きを $m=f^{\mathrm{\prime }}(x)$ とする。仮定より $m<0$ である。

接線の方程式は $Y-y=m(X-x)$ である。$x$ 軸との交点 $Q$ は $Y=0$ として $$X=x-\frac{y}{m}$$ である。したがって $P$ から $Q$ までの水平距離は $-\frac{y}{m}$、鉛直距離は $y$ なので $$PQ=\sqrt{{(-\frac{y}{m})}^2+y^2}=\frac{y\sqrt{1+m^2}}{-m}$$ である。$m<0$ なので分母 $-m$ は正である。

また $y$ 軸との交点 $R$ は $X=0$ として $Y=y-mx$ である。よって $$PR=\sqrt{x^2+(mx{)}^2}=x\sqrt{1+m^2}$$ である。

次に、$P$ を通る法線の傾きは $-\frac{1}{m}$ であるから、その方程式は $Y-y=-\frac{1}{m}(X-x)$ である。$x$ 軸との交点 $S$ は $Y=0$ として $X=x+my$ である。したがって $$PS=\sqrt{(my{)}^2+y^2}=y\sqrt{1+m^2}$$ である。

以上より $$\frac{PQ}{PR}=\frac{y}{-mx},\frac{PS}{PQ}=-m$$ である。条件 $$\frac{PQ}{PR}=\frac{PS}{PQ}$$ から $$\frac{y}{-mx}=-m$$ となり、$x>0$ だから $y=m^{2}x$ を得る。$y=f(x)$、$m=f^{\mathrm{\prime }}(x)$ に戻すと $$\{f^{\mathrm{\prime }}(x){\}}^2=\frac{f(x)}{x}$$ である。さらに $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ より負の平方根を選び、求める微分方程式は $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\sqrt{\frac{f(x)}{x}}$$ である。

(2) $f(x)>0$ なので $$u=\sqrt{f(x)}$$ とおくことができる。このとき $f=u^2$、$f^{\mathrm{\prime }}=2u{u}^{\mathrm{\prime }}$ であり、(1)の微分方程式は $$2u{u}^{\mathrm{\prime }}=-\frac{u}{\sqrt{x}}$$ となる。$u>0$ だから $u$ で割れて、$$u^{\mathrm{\prime }}=-\frac{1}{2\sqrt{x}}$$ である。積分して $$u=C-\sqrt{x}$$ を得る。

条件 $f(1)=1$ より $$u(1)=\sqrt{f(1)}=1$$ だから $1=C-1$ であり、$C=2$ である。したがって $$\sqrt{f(x)}=2-\sqrt{x}$$ である。定義域は $0<x<4$ なので $$2-\sqrt{x}>0$$ であり、平方して $$f(x)=(2-\sqrt{x}{)}^2$$ を得る。

最後に条件を確認する。$0<x<4$ では $f(x)>0$ であり、$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2(2-\sqrt{x})(-\frac{1}{2\sqrt{x}})=-\frac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}<0$$である。また $f(1)=(2-1{)}^2=1$ も満たす。よって求めた関数はすべての条件を満たす。

接線の傾きの絶対値を角の正接として長さ比を読む。得た微分方程式は変数分離して直接積分する。

(1)
$P=(x,y)$ における接線が $x$ 軸の正方向となす鋭角を $\phi$ とし、
$h=-f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ と置くと $\tan \phi =h$ である。
接線上の直角三角形から$$PQ=\frac{y\sqrt{1+h^2}}{h},PR=x\sqrt{1+h^2}\mathrm{.}$$法線の傾きは $1\mathrm{/}h$ なので$$PS=y\sqrt{1+h^2}\mathrm{.}$$条件より$$\frac{y}{hx}=h,$$すなわち $y=x{h}^2$ である。$y=f(x),h=-f^{\mathrm{\prime }}(x)$ を戻せば$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\sqrt{\frac{f(x)}{x}}\mathrm{.}$$(2)
$f(x)>0$ なので変数分離でき、$$\frac{f^{\mathrm{\prime }}(x)}{\sqrt{f(x)}}=-\frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{.}$$両辺を積分すると$$2\sqrt{f(x)}=-2\sqrt{x}+C\mathrm{.}$$$f(1)=1$ より $C=4$ だから $$\sqrt{f(x)}=2-\sqrt{x}$$ である。
$0<x<4$ では右辺は正なので$$f(x)=(2-\sqrt{x}{)}^2\mathrm{.}$$この関数は $$f(1)=1,f(x)>0,f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$$ を満たす。