大阪大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $f(x)=(x-a{)}^2{e}^{-x^2+b}$ より $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2(x-a)e^{-x^2+b}-2x(x-a{)}^2{e}^{-x^2+b}$$ である。したがって $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2e^{-x^2+b}(x-a)\{1-x(x-a)\}$$ となる。ここで $e^{-x^2+b}>0$ である。

臨界点は $x=a$ または $1-x(x-a)=0$ から得られる。後者は $x^2-ax-1=0$ であるから、2解は $$\alpha ={\displaystyle \frac{a-\sqrt{a^2+4}}{2}},\beta ={\displaystyle \frac{a+\sqrt{a^2+4}}{2}}$$ である。$\alpha <a<\beta$ であり、$f(a)=0$、かつ $f(x)\geqq 0$ だから、$x=a$ で極小値をとる。さらに $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ が大きいところでは $f(x)$ は0に近づき、符号変化から $x=\alpha ,\beta$ で極大値をとる。したがって$$\alpha ={\displaystyle \frac{a-\sqrt{a^2+4}}{2}},\beta ={\displaystyle \frac{a+\sqrt{a^2+4}}{2}},\gamma =a$$である。

(2) $C=(a,0)$ である。また $\alpha ,\beta$ は $x^2-ax-1=0$ の2解であるから $$\alpha +\beta =a,\alpha \beta =-1$$ が成り立つ。したがって $$(\alpha -a)(\beta -a)=(-\beta )(-\alpha )=\alpha \beta =-1$$ である。

次に縦座標の積を求める。$x=\alpha ,\beta$ では $x(x-a)=1$ であるから $$(x-a{)}^2={\displaystyle \frac{1}{x^2}}$$ である。よって $$f(\alpha )f(\beta )=(\alpha -a{)}^2(\beta -a{)}^2{e}^{-{\alpha }^2-{\beta }^2+2b}$$ である。ここで $(\alpha -a)(\beta -a)=-1$ より $$(\alpha -a{)}^2(\beta -a{)}^2=1$$ であり、また $${\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta =a^2+2$$ である。したがって $$f(\alpha )f(\beta )=e^{2b-a^2-2}$$ である。

以上より$$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=(\alpha -a)(\beta -a)+f(\alpha )f(\beta )=-1+e^{2b-a^2-2}$$である。すなわち $$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=e^{2b-a^2-2}-1$$ である。

(3) $\mathrm{\angle }ACB$ が鋭角であるための条件は $$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}>0$$ である。$(2)$ の結果から $e^{2b-a^2-2}-1>0$ であり、これは $e^{2b-a^2-2}>1$ と同値である。指数関数 $e^x$ は $x>0$ のとき1より大きいので $2b-a^2-2>0$ を得る。したがって求める条件は $$b>{\displaystyle \frac{a^2+2}{2}}$$ である。

極値を与える2次方程式の解と係数の関係を使う。点 $C$ から $A,B$ へ引いた2直線の傾きの積を求め、内積を傾きで組み直して鋭角条件を判定する。

(1)
微分すると$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2e^{-x^2+b}(x-a)\{1-x(x-a)\}\mathrm{.}$$したがって極小点は $x=a$、2つの極大点は $x^2-ax-1=0$ の2解である。よって$$\alpha ={\displaystyle \frac{a-\sqrt{a^2+4}}{2}},\beta ={\displaystyle \frac{a+\sqrt{a^2+4}}{2}},\gamma =a\mathrm{.}$$(2)
$C=(a,0)$ から $A,B$ へ引いた直線の傾きをそれぞれ $m_A,m_B$ とする。$\alpha +\beta =a$、$\alpha \beta =-1$ より$$(\alpha -a)(\beta -a)=(-\beta )(-\alpha )=-1.$$また、極大点では $x(x-a)=1$ なので$$f(\alpha )f(\beta )=e^{2b-({\alpha }^2+{\beta }^2)}=e^{2b-a^2-2}\mathrm{.}$$ここで$$m_A{m}_B={\displaystyle \frac{f(\alpha )f(\beta )}{(\alpha -a)(\beta -a)}}=-e^{2b-a^2-2}\mathrm{.}$$2本の方向ベクトルを $(\alpha -a)(1,m_A)$、$(\beta -a)(1,m_B)$ と書けば、その内積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}}& {\displaystyle =(\alpha -a)(\beta -a)(1+m_A{m}_B)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e^{2b-a^2-2}-1.}\end{array}$$(3)
$\mathrm{\angle }ACB$ が鋭角である条件は上の内積が正であることだから$$e^{2b-a^2-2}>1.$$指数関数の単調性より$$2b-a^2-2>0,b>{\displaystyle \frac{a^2+2}{2}}$$を得る。