大阪大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $x=3$ のとき極小値 $0$ をとるので $f(3)=0,f^{\mathrm{\prime }}(3)=0$ である。また、点 $(1,8)$ が曲線上にあるから $f(1)=8$ である。さらに、この点における接線が $(3,0)$ を通るので、その傾きは $$\frac{0-8}{3-1}=-4$$ である。したがって $f^{\mathrm{\prime }}(1)=-4$ である。 $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ とおくと $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3a{x}^2+2bx+c$ である。4つの条件は $27a+9b+3c+d=0,$ $27a+6b+c=0,$ $a+b+c+d=8,$ $3a+2b+c=-4$ である。これを解くと $$a=1,b=-5,c=3,d=9$$ を得る。よって $f(x)=x^3-5x^2+3x+9$ である。実際に因数分解すると $f(x)=(x-3{)}^2(x+1)$ である。

(2) $x$ 軸との交点は $(x-3{)}^2(x+1)=0$ より $x=-1,x=3$ である。$(x-3{)}^2\geqq 0$ であり、$-1\leqq x\leqq 3$ では $x+1\geqq 0$ だから、この区間で $f(x)\geqq 0$ である。したがって求める面積 $S$ は $$S={\int }_{-1}^3(x-3{)}^2(x+1)dx$$ である。

展開して $$(x-3{)}^2(x+1)=x^3-5x^2+3x+9$$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^3(x^3-5x^2+3x+9)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[\frac{x^4}{4}-\frac{5x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+9x]}_{-1}^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{64}{3}}\end{array}$$である。

別解。(1)では、$x=3$ で極小値0をとることから最初に $f(x)=(x-3{)}^2(px+q)$ と置くこともできる。$f(1)=8$ と $f^{\mathrm{\prime }}(1)=-4$ を代入すれば $p=1,q=1$ が得られ、すぐに $f(x)=(x-3{)}^2(x+1)$ と決まる。