大阪大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

$$f(x)=x^4-2x^2+1=(x^2-1{)}^2$$ とおく。接点の $x$ 座標を $t$ とすると、接線が点 $(a,0)$ を通る条件は $0=f^{\mathrm{\prime }}(t)(a-t)+f(t)$ である。ここで $f^{\mathrm{\prime }}(t)=4t(t^2-1)$ なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 0}& {\displaystyle =4t(t^2-1)(a-t)+(t^2-1{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(t^2-1)(4at-3t^2-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-(t-1)(t+1)(3t^2-4at+1)}\end{array}$$となる。 $t=1$ と $t=-1$ は、いずれも接線 $y=0$ を与える。これは問題で除く $x$ 軸である。したがって、$x$ 軸以外の接線は $3t^2-4at+1=0$ の実数解のうち、$t\mathrm{\ne }\pm 1$ のものに対応する。

この2次方程式の判別式は $$D=(-4a{)}^2-4\cdot 3\cdot 1=16a^2-12$$ である。まず $D=0$ のとき、2次方程式は重解をもち、非 $x$ 軸の接線はちょうど1本である。このとき $16a^2-12=0$ より $$a=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$ である。この重解は $t=\pm 1$ ではない。

次に $D>0$ のときを考える。通常は2つの異なる実数解があり、非 $x$ 軸の接線が2本になる。ただし一方の解が $t=1$ または $t=-1$ なら、その解は $x$ 軸を表すので除かれ、残りの1本だけになる。 $t=1$ が解である条件は $3-4a+1=0$ だから $a=1$ である。このときもう一つの解は $t=\frac{1}{3}$ であり、非 $x$ 軸の接線は1本である。$t=-1$ が解である条件は $3+4a+1=0$ だから $a=-1$ である。このときもう一つの解は $t=-\frac{1}{3}$ であり、やはり非 $x$ 軸の接線は1本である。 $D<0$ では非 $x$ 軸の接線は存在しない。以上より、求める $a$ は $$a=-1,-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},1$$ である。