阪大 1990年度理系数学第5問｜問題・解答・解説

方針

立方体の3本の互いに垂直な辺ベクトルを座標で復元する。 $O C$ は $z$ 軸方向の単位ベクトルで、 $E = A + D$ が $x$ 軸上にあることから、 $O A$ と $O D$ は $x y$ 平面内の互いに垂直な単位ベクトルで、和が $x$ 軸方向になるように取れる。回転では $x$ 座標と $x$ 軸からの距離が保たれるので、辺 $B C$ と面 $O A B C$ をパラメータ表示し、 $x y$ 平面に現れる点の条件へ変換する。

解答

立方体の面 $O A B C$ と $D E F G$ が平行で、対応する辺が $O D, A E, B F, C G$ であると見る。 $O = (0, 0, 0)$ 、 $C = (0, 0, 1)$ とおける。さらに $E$ は $x$ 軸の正の部分にある。 $O A$ と $O D$ は互いに垂直な単位ベクトルで、どちらも $O C$ に垂直であるから $x y$ 平面内にある。また $E = A + D$ が $x$ 軸上にある。したがって、向きを選び直して $A = (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0), D = (\frac{1}{\sqrt{2}}, - \frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ とできる。このとき $B = A + C = (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 1)$ である。

(1)
辺 $B C$ 上の点は、 $0 ≦ s ≦ 1$ として $(1 - s) C + s B = (\frac{s}{\sqrt{2}}, \frac{s}{\sqrt{2}}, 1)$ と表される。立方体を $x$ 軸のまわりに回転しても、点の $x$ 座標と $x$ 軸からの距離は変わらない。したがって、この点が回転して $x y$ 平面に来たとき、座標を $(x, y)$ とすれば $x = \frac{s}{\sqrt{2}}, y^{2} = {(\frac{s}{\sqrt{2}})}^{2} + 1^{2}$ である。よって $y^{2} = x^{2} + 1, 0 ≦ x ≦ \frac{1}{\sqrt{2}}$ を得る。これが辺 $B C$ の通過する部分 $M$ を表す。

(2)
面 $O A B C$ 上の点は、 $0 ≦ s ≦ 1$ 、 $0 ≦ t ≦ 1$ として $s A + t C = (\frac{s}{\sqrt{2}}, \frac{s}{\sqrt{2}}, t)$ と表される。回転後に $x y$ 平面に来た点 $(x, y)$ については $x = \frac{s}{\sqrt{2}}, y^{2} = {(\frac{s}{\sqrt{2}})}^{2} + t^{2}$ である。ここで $0 ≦ t ≦ 1$ だから $x^{2} ≦ y^{2} ≦ x^{2} + 1$ であり、また $0 ≦ s ≦ 1$ より $0 ≦ x ≦ \frac{1}{\sqrt{2}}$ である。

したがって、面 $O A B C$ が $x y$ 平面で通過する部分は $0 ≦ x ≦ \frac{1}{\sqrt{2}}, x^{2} ≦ y^{2} ≦ x^{2} + 1$ で表される。図示すると、直線 $y = x$ 、 $y = - x$ と双曲線 $y^{2} = x^{2} + 1$ の上下2枝に挟まれた、 $y$ 軸に関して対称な部分である。ただし $x$ の範囲は $0 ≦ x ≦ 1 / \sqrt{2}$ である。

総評

難度7、計算量6。図の条件から立方体の座標を復元し、回転で保たれる量に置き換える空間図形問題である。想定時間は24分程度。重要なのは、 $x$ 軸まわりの回転では $x$ 座標と $x$ 軸からの距離 $\sqrt{y^{2} + z^{2}}$ が保たれることを使う点である。(2) では境界だけでなく、 $x^{2} ≦ y^{2} ≦ x^{2} + 1$ という領域として答え、上下対称の図形になることを明記したい。

出典: 大阪大学 1990年度前期数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

大阪大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

方針

解答

総評

大阪大学 1990年度前期日程第2次学力試験理系数学第5問