大阪大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

上下の正六角形の中心を結ぶ直線を $z$ 軸とし、上面を $$z=\frac{h}{2}$$、下面を $$z=-\frac{h}{2}$$ の平面に置く。正六角形の1辺は1なので、各正六角形の外接円の半径も1である。上面の頂点を$$A_k=(\cos \frac{(k-1)\pi }{3},\sin \frac{(k-1)\pi }{3},\frac{h}{2})$$とし、下面は30度回転しているから$$B_k=(\cos (\frac{(k-1)\pi }{3}+\frac{\pi }{6}),\sin (\frac{(k-1)\pi }{3}+\frac{\pi }{6}),-\frac{h}{2})$$とおける。

側面の辺 $A_1{B}_1$ の水平成分の長さの2乗は、半径1の円周上で中心角 $\frac{\pi }{6}$ だけ離れた2点の距離の2乗だから$${\mid {\overrightarrow{O{A}_1}}_{\text{水平}}-{\overrightarrow{O{B}_1}}_{\text{水平}}\mid }^2=2-2\cos \frac{\pi }{6}=2-\sqrt{3}$$である。側面は正三角形で $A_1{B}_1=1$ なので $1=(2-\sqrt{3})+h^2$ より $h^2=\sqrt{3}-1$ である。

(1) $\overrightarrow{A_1{B}_1}$ と $\overrightarrow{A_4{B}_4}$ の水平成分は互いに反対向きで等しい。また $\overrightarrow{B_2{A}_3}$ と $\overrightarrow{B_5{A}_6}$ の水平成分も互いに反対向きで等しい。したがって4つの水平成分の和は0である。

鉛直成分は$$\overrightarrow{A_i{B}_i}\text{ では }-h,\overrightarrow{B_i{A}_{i+1}}\text{ では }h$$であるから、与えられた和の鉛直成分は $-h+h-h+h=0$ である。よって$$\overrightarrow{A_1{B}_1}+\overrightarrow{B_2{A}_3}+\overrightarrow{A_4{B}_4}+\overrightarrow{B_5{A}_6}=\vec{0}$$となり、求める長さは ${\displaystyle 0}$ である。

(2) $$\vec{u}=\overrightarrow{A_1{B}_1}+\overrightarrow{A_3{B}_3}+\overrightarrow{A_5{B}_5}$$とおく。3つの水平成分は互いに120度ずつ回転した同じ長さのベクトルなので、和は0である。鉛直成分はすべて $-h$ だから $\vec{u}=(0,0,-3h)$ である。

同様に$$\vec{v}=\overrightarrow{B_1{A}_2}+\overrightarrow{B_3{A}_4}+\overrightarrow{B_5{A}_6}$$とおくと、水平成分は打ち消し合い、鉛直成分はすべて $h$ なので $\vec{v}=(0,0,3h)$ である。したがって $$\vec{u}\cdot \vec{v}=(0,0,-3h)\cdot (0,0,3h)=-9h^2$$ であり、$h^2=\sqrt{3}-1$ を代入して ${\displaystyle -9(\sqrt{3}-1)}$ を得る。