大阪大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) $AB$ の中点を $O$ とする。点 $P$ について，$\mathrm{\angle }APB={90}^{\circ }$ となる点全体は $AB$ を直径とする球面である。これは，$(PA{)}^2+(PB{)}^2=(AB{)}^2$ が直角の条件であり，$AB=2$ だから中心 $O$，半径1の球面になることから分かる。

したがって $\mathrm{\angle }APB>{90}^{\circ }$ となる点全体 $S$ は，中心 $O$，半径1の球の内部である。境界上では角が直角になるので含まれない。

(2)
面 $ABC$ 上で $O$ を原点，$AB$ を $x$ 軸にとり，$A(-1,0),B(1,0),C(0,\sqrt{3})$ とおく。この面で $S$ と交わる部分は，円 $x^2+y^2<1$ と正三角形 $ABC$ の共通部分である。面積には境界の開閉は影響しないので，以下では等号を含めて計算する。

円は辺 $AC$，$BC$ とそれぞれの中点で交わる。これらを $E,F$ とすると$$E(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}),F({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$$である。求める図形は，台形 $ABFE$ と，弦 $EF$ の上側にある円弧部分を合わせたものである。

台形 $ABFE$ の面積は，上底 $EF=1$，下底 $AB=2$，高さ ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ より $${\displaystyle \frac{1+2}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}}$$ である。また，扇形 $EOF$ の中心角は ${60}^{\circ }$ だから，扇形の面積は ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$，三角形 $EOF$ の面積は ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}$ である。したがって弦 $EF$ の上側の円弧部分の面積は ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}$ である。

よって，$\mathrm{△}ABC$ と $S$ の交わりの面積は$${\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}}+({\displaystyle \frac{\pi }{6}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}})={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$である。

(3)
面 $ABC$ と面 $ABD$ はどちらも $AB$ を含むので，(2) と同じ面積 ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ をもつ。

次に，面 $ACD$ を考える。$O$ から面 $ACD$ に下ろした垂線の足を $H$ とする。頂点 $B$ から面 $ACD$ までの距離は，1辺2の正四面体の高さ ${\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3}}$ である。$O$ は $AB$ の中点で，$A$ は面 $ACD$ 上にあるから，$O$ から面 $ACD$ までの距離はその半分で $$OH={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}$$ である。

したがって，中心 $O$，半径1の球を面 $ACD$ で切った円の半径は $$r=\sqrt{1-O{H}^2}=\sqrt{1-{\displaystyle \frac{2}{3}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ である。また $AO=1$ なので $$AH=\sqrt{A{O}^2-O{H}^2}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}=r$$ である。この断面円は辺 $AC$，$AD$ の中点を通る。これらを $E,F$ とすると，面 $ACD$ 上で求める部分は，扇形 $EHF$ と2つの三角形 $AHE$，$AHF$ からなる。

ここで $\mathrm{\angle }EHF={120}^{\circ }$，かつ $AH=HE=HF=r$ であるから，$$\text{扇形 }EHF\text{ の面積}={\displaystyle \frac{1}{2}}{r}^2\cdot {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}={\displaystyle \frac{\pi }{9}}$$ であり，$$2\cdot \text{三角形 }AHE\text{ の面積}=2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}{r}^2\sin {120}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}}$$である。よって，面 $ACD$ に現れる面積は ${\displaystyle \frac{\pi }{9}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}}$ である。面 $BCD$ でも同じである。

以上より，正四面体の表面と $S$ の交わりの面積は$$2({\displaystyle \frac{\pi }{6}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})+2({\displaystyle \frac{\pi }{9}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}})={\displaystyle \frac{5\pi }{9}}+{\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}}$$である。

各面に座標を置き、直角・鈍角条件を内積 $(P-A)\cdot (P-B)<0$ として円の不等式へ変換する。$AB$ を含む面では積分で共通部分を求め、含まない面では $B$ の正射影を用いて断面円の中心と半径を計算する。

(1) $$\mathrm{\angle }APB>{90}^{\circ }⟺(P-A)\cdot (P-B)<0.$$$AB$ の中点を $O$ とすると$$(P-A)\cdot (P-B)=P{O}^2-A{O}^2=P{O}^2-1$$だから、$S$ は中心 $O$、半径1の球の内部である。

(2)
面 $ABC$ で $$A=(0,0),B=(2,0),C=(1,\sqrt{3})$$ とおく。条件は$$x(x-2)+y^2<0⟺(x-1{)}^2+y^2<1.$$左右対称性より面積は$$2\{{\int }_0^{1\mathrm{/}2}\sqrt{3}xdx+{\int }_{1\mathrm{/}2}^1\sqrt{1-(x-1{)}^2}dx\}\mathrm{.}$$第1積分は $\sqrt{3}\mathrm{/}8$、第2積分は $\sqrt{3}\mathrm{/}8+\pi \mathrm{/}12$ なので$${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$$である。

(3)
$AB$ を含む面は2枚あり、各面の面積は(2)と同じである。

面 $ACD$ で $$A=(0,0),C=(2,0),D=(1,\sqrt{3})$$ とする。頂点 $B$ のこの面への正射影は正三角形 $ACD$ の重心$$H=(1,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}})$$である。$P-A$ は面内のベクトルなので、鈍角条件は$$(P-A)\cdot (P-H)<0.$$これは中心$$K=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}}),r={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$の円の内部を表す。この円は $A$ と辺 $AC,AD$ の中点を通り、中心 $K$ から両中点を見込む角は ${120}^{\circ }$ である。したがって面 $ACD$ 内の面積は$${\displaystyle \frac{1}{2}}{r}^2\cdot {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}{r}^2\sin {120}^{\circ }={\displaystyle \frac{\pi }{9}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}}\mathrm{.}$$面 $BCD$ も同じである。ゆえに表面との交わりは$$2({\displaystyle \frac{\pi }{6}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})+2({\displaystyle \frac{\pi }{9}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}})={\displaystyle \frac{5\pi }{9}}+{\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}}\mathrm{.}$$