大阪大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
放物線と直線 $y=a^{2}x$ の縦方向の差を $$F(x)=\{a{x}^2-bx+b\}-a^{2}x=a{x}^2-(b+a^2)x+b$$ とおく。交点 $P,Q$ の $x$ 座標を $r,s$ とすると，$F(r)=F(s)=0$ であり，条件より $\mathrm{\mid }r-s\mathrm{\mid }=1$ である。また $a>0$ だから $F(x)=a(x-r)(x-s)$ と書ける。

放物線上の点 $(x,a{x}^2-bx+b)$ と直線 $y=a^{2}x$，すなわち $a^{2}x-y=0$ との距離は $$\frac{\mathrm{\mid }{a}^{2}x-(a{x}^2-bx+b)\mathrm{\mid }}{\sqrt{a^4+1}}=\frac{\mathrm{\mid }F(x)\mathrm{\mid }}{\sqrt{1+a^4}}$$ である。

弧 $PQ$ 上では $x$ は $r$ と $s$ の間を動く。この区間で $\mathrm{\mid }F(x)\mathrm{\mid }$ は，二つの根の中点 $$x=\frac{r+s}{2}$$ で最大となる。その値は$$\mid a(\frac{r+s}{2}-r)(\frac{r+s}{2}-s)\mid =a\frac{(r-s{)}^2}{4}$$である。$\mathrm{\mid }r-s\mathrm{\mid }=1$ より $$\max \mathrm{\mid }F(x)\mathrm{\mid }=\frac{a}{4}$$ であるから $${\displaystyle d=\frac{a}{4\sqrt{1+a^4}}}$$ となる。

(2)
(1)
より，$d$ を最大にするには $\frac{a}{\sqrt{1+a^4}}$ を最大にすればよい。これは正なので，二乗して $\frac{a^2}{1+a^4}$ の最大を調べる。$u=a^2$ とおくと $u>0$ であり，$$\frac{a^2}{1+a^4}=\frac{u}{1+u^2}$$ である。ここで $1+u^2-2u=(u-1{)}^2\geqq 0$ より $1+u^2\geqq 2u$ だから $$\frac{u}{1+u^2}\leqq \frac{1}{2}$$ である。等号は $u=1$ のとき，すなわち $a=1$ のときに成り立つ。

次に，このときの $b$ を求める。$a=1$ のとき $F(x)=x^2-(b+1)x+b$ である。この二次方程式の判別式を $D$ とすると，二つの根の差の絶対値は $$\frac{\sqrt{D}}{1}=\sqrt{D}$$ である。条件より根の差は $1$ だから $D=1$ である。一方，$$D=(b+1{)}^2-4b=b^2-2b+1=(b-1{)}^2$$ なので $(b-1{)}^2=1$ を得る。したがって $b=0,b=2$ である。

以上より，$d$ を最大にする値は $${\displaystyle a=1,b=0\text{ または }2}$$ である。