大阪大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

曲線を $f(x)=x^3-a{x}^2$ とおく。接点の $x$ 座標を $t$ とすると，接点は $(t,f(t))$，接線の傾きは $f^{\mathrm{\prime }}(t)=3t^2-2at$ である。したがって接線の方程式は $y=f^{\mathrm{\prime }}(t)(x-t)+f(t)$ である。

この直線が $(0,1)$ を通る条件は $1=f(t)-t{f}^{\mathrm{\prime }}(t)$ である。これに $f(t)=t^3-a{t}^2$，$f^{\mathrm{\prime }}(t)=3t^2-2at$ を代入すると $$1=t^3-a{t}^2-t(3t^2-2at)=a{t}^2-2t^3$$ となる。すなわち，接点の候補は $F(t)=2t^3-a{t}^2+1=0$ の解である。

接線がちょうど2本存在するためには，この3次方程式が相異なる解をちょうど2個もつ必要がある。したがって重解をもつ必要がある。微分すると $F^{\mathrm{\prime }}(t)=6t^2-2at=2t(3t-a)$ である。$F(0)=1$ なので，重解は $t=0$ ではない。よって重解は $$t={\displaystyle \frac{a}{3}}$$ でなければならない。これを $F(t)=0$ に代入すると$$F\left({\displaystyle \frac{a}{3}}\right)=2{\left({\displaystyle \frac{a}{3}}\right)}^3-a{\left({\displaystyle \frac{a}{3}}\right)}^2+1=1-{\displaystyle \frac{a^3}{27}}$$である。したがって $a^3=27$ より $a=3$ を得る。

逆に $a=3$ のとき，$$F(t)=2t^3-3t^2+1=(t-1{)}^2(2t+1)$$ であるから，接点の $x$ 座標は $t=1,t=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ の2種類である。 $t=1$ のとき，接点は $(1,-2)$，傾きは $f^{\mathrm{\prime }}(1)=3-6=-3$ なので，接線は $y=-3(x-1)-2=-3x+1$ である。 $t=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ のとき，接点の $y$ 座標は $$f(-{\displaystyle \frac{1}{2}})=-{\displaystyle \frac{1}{8}}-3\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}=-{\displaystyle \frac{7}{8}}$$ であり，傾きは$$f^{\mathrm{\prime }}(-{\displaystyle \frac{1}{2}})=3\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}-6(-{\displaystyle \frac{1}{2}})={\displaystyle \frac{15}{4}}$$である。よって接線は $$y+{\displaystyle \frac{7}{8}}={\displaystyle \frac{15}{4}}(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})$$ すなわち $$y={\displaystyle \frac{15}{4}}x+1$$ である。

以上より，$a=3$ であり，2本の接線は $$y=-3x+1,y={\displaystyle \frac{15}{4}}x+1$$ である。

接点条件から得られる3次関数 $F(t)$ のグラフを調べる。接線が2本であるためには $F(t)=0$ が相異なる2実根をもつ必要がある。極値の位置と値を調べ、極値がちょうど0になる場合を絞る。

接点の横座標を $t$ とすると、接線が $(0,1)$ を通る条件は$$F(t)=2t^3-a{t}^2+1=0$$である。相異なる接線の本数は相異なる接点 $t$ の個数に等しい。$$F^{\mathrm{\prime }}(t)=2t(3t-a)$$だから、極値をとり得る点は $t=0$ と $t=a\mathrm{/}3$ である。3次関数が相異なる実根をちょうど2個もつには、極大値または極小値が0となって接する必要がある。しかし $F(0)=1$ なので、0になり得るのはもう一方だけである。そこで$$F\left({\displaystyle \frac{a}{3}}\right)=1-{\displaystyle \frac{a^3}{27}}=0$$より $a=3$ を得る。

実際、$$F(t)=2t^3-3t^2+1=(t-1{)}^2(2t+1)$$であるから、接点は $t=1,-1\mathrm{/}2$ の2個である。曲線を $f(x)=x^3-3x^2$ とすると、接線は$$y=f^{\mathrm{\prime }}(t)(x-t)+f(t)$$である。$t=1$ では $f(1)=-2,f^{\mathrm{\prime }}(1)=-3$ より$$y=-3x+1.$$$t=-1\mathrm{/}2$ では $$f(-1\mathrm{/}2)=-7\mathrm{/}8,f^{\mathrm{\prime }}(-1\mathrm{/}2)=15\mathrm{/}4$$ より$$y={\displaystyle \frac{15}{4}}x+1.$$したがって $a=3$、接線はこの2本である。