大阪大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $y=f(x)$ とおき，$$r=\sqrt{x^2+y^2}$$ とする。点 $P(x,y)$ から $O(0,0)$ へ向かう単位ベクトルは $(-{\displaystyle \frac{x}{r}},-{\displaystyle \frac{y}{r}})$ であり，点 $P$ から $Q(x,y+1)$ へ向かう単位ベクトルは $(0,1)$ である。したがって，$\mathrm{\angle }OPQ$ の内角の二等分線の方向は $(-{\displaystyle \frac{x}{r}},1-{\displaystyle \frac{y}{r}})$ である。

この直線が曲線の法線である。まず $x\mathrm{\ne }0$ とすると，この法線の傾きは $${\displaystyle \frac{1-y\mathrm{/}r}{-x\mathrm{/}r}}=-{\displaystyle \frac{r-y}{x}}$$ である。接線の傾き $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ は法線の傾きの負の逆数だから $$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{x}{r-y}}$$ である。これを有理化すると $$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{r+y}{x}}$$ となり，$x{f}^{\mathrm{\prime }}(x)-y=r$ を得る。$y=f(x)$ を戻すと，求める微分方程式は $$x{f}^{\mathrm{\prime }}(x)-f(x)=\sqrt{x^2+f(x{)}^2}$$ である。なお $x=0$ でも，$f(0)<0$ より左辺は $-f(0)$，右辺も $\mathrm{\mid }f(0)\mathrm{\mid }=-f(0)$ となるので，同じ式が成り立つ。

(2) $g(x)=f^{\mathrm{\prime }}(x)$ とおく。(1)を $$xg(x)-f(x)=\sqrt{x^2+f(x{)}^2}$$ と書く。両辺を微分すると，左辺の微分は $x{g}^{\mathrm{\prime }}(x)$ であり，右辺の微分は ${\displaystyle \frac{x+f(x)g(x)}{\sqrt{x^2+f(x{)}^2}}}$ である。よって(1)を用いて $$x{g}^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{x+f(x)g(x)}{xg(x)-f(x)}}$$ を得る。

また，(1)を2乗すると $$\{xg(x)-f(x){\}}^2=x^2+f(x{)}^2$$ である。整理して $$x^{2}g(x{)}^2-2xg(x)f(x)=x^2$$ すなわち $$2xg(x)f(x)=x^2\{g(x{)}^2-1\}$$ を得る。$x\mathrm{\ne }0$ で $g(x)=0$ とするとこの式の右辺が $-x^2$ となり矛盾するので，$g(x)\mathrm{\ne }0$ である。したがって $$f(x)={\displaystyle \frac{x\{g(x{)}^2-1\}}{2g(x)}}$$ と表せる。

これを $$x{g}^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{x+f(x)g(x)}{xg(x)-f(x)}}$$ に代入する。分子は $$x+f(x)g(x)=x+{\displaystyle \frac{x\{g(x{)}^2-1\}}{2}}={\displaystyle \frac{x\{g(x{)}^2+1\}}{2}}$$ であり，分母は$$xg(x)-f(x)=xg(x)-{\displaystyle \frac{x\{g(x{)}^2-1\}}{2g(x)}}={\displaystyle \frac{x\{g(x{)}^2+1\}}{2g(x)}}$$である。よって $$x{g}^{\mathrm{\prime }}(x)=g(x)(x\mathrm{\ne }0)$$ を得る。

(3)
(2)より，$x\mathrm{\ne }0$ で $x{g}^{\mathrm{\prime }}(x)=g(x)$ である。したがって $${\left({\displaystyle \frac{g(x)}{x}}\right)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{x{g}^{\mathrm{\prime }}(x)-g(x)}{x^2}}=0$$ であり，$x>0$ と $x<0$ のそれぞれで $g(x)\mathrm{/}x$ は定数である。さらに $f$ は2次の導関数をもつので，$g^{\mathrm{\prime }}(0)=f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)$ が存在し，左右で定数は一致する。よってある定数 $C$ を用いて $g(x)=Cx$ と書ける。

すなわち $f^{\mathrm{\prime }}(x)=Cx$ であるから，$$f(x)={\displaystyle \frac{C}{2}}{x}^2+D$$ である。条件 $f(0)=-1$ より $D=-1$ なので $$f(x)={\displaystyle \frac{C}{2}}{x}^2-1$$ となる。

これを(1)に代入する。左辺は $$x{f}^{\mathrm{\prime }}(x)-f(x)=C{x}^2-({\displaystyle \frac{C}{2}}{x}^2-1)=1+{\displaystyle \frac{C}{2}}{x}^2$$ である。したがって $$1+{\displaystyle \frac{C}{2}}{x}^2=\sqrt{x^2+{({\displaystyle \frac{C}{2}}{x}^2-1)}^2}$$ がすべての $x$ で成り立つ。両辺は非負なので2乗してよく，$${(1+{\displaystyle \frac{C}{2}}{x}^2)}^2=x^2+{({\displaystyle \frac{C}{2}}{x}^2-1)}^2$$ である。左辺は $1+C{x}^2+{\displaystyle \frac{C^2}{4}}{x}^4$ であり，右辺は $1+(1-C)x^2+{\displaystyle \frac{C^2}{4}}{x}^4$ である。係数を比較して $C=1-C$ より $C={\displaystyle \frac{1}{2}}$ を得る。したがって $$f(x)={\displaystyle \frac{x^2}{4}}-1$$ である。実際この関数は(1)の微分方程式を満たすので，求める関数はこれである。

法線方向を $(-g,1)$ とし、鉛直上向きの単位ベクトルをこの法線に関して反射すると $PO$ 方向になることを使う。反射公式から $f$ と $g=f^{\mathrm{\prime }}$ の代数関係を得て、それを微分して $x{g}^{\mathrm{\prime }}=g$ を導く。

(1) $$y=f(x),g=f^{\mathrm{\prime }}(x),r=\sqrt{x^2+y^2}$$ とする。法線方向は$$\mathit{n}=(-g,1)$$である。$PQ$ 方向の単位ベクトル $\mathit{v}=(0,1)$ を法線に関して反射すると、二等分条件により $PO$ 方向の単位ベクトル $$\mathit{u}=(-x\mathrm{/}r,-y\mathrm{/}r)$$ になる。反射公式から$$\mathit{u}={\displaystyle \frac{2(\mathit{n}\cdot \mathit{v})}{\mathit{n}\cdot \mathit{n}}}\mathit{n}-\mathit{v}=(-{\displaystyle \frac{2g}{1+g^2}},{\displaystyle \frac{1-g^2}{1+g^2}})\mathrm{.}$$成分を比較して$${\displaystyle \frac{x}{r}}={\displaystyle \frac{2g}{1+g^2}},{\displaystyle \frac{y}{r}}={\displaystyle \frac{g^2-1}{1+g^2}}\mathrm{.}$$これらから $xg-y=r$、すなわち$$x{f}^{\mathrm{\prime }}(x)-f(x)=\sqrt{x^2+f(x{)}^2}$$を得る。

(2)
上の成分比から$$f(x)={\displaystyle \frac{x\{g(x{)}^2-1\}}{2g(x)}}={\displaystyle \frac{x}{2}}(g(x)-{\displaystyle \frac{1}{g(x)}})$$である。$x\mathrm{\ne }0$ では $g(x)\mathrm{\ne }0$ なので微分できる。左辺の微分が $g$ であることを使うと$$g={\displaystyle \frac{1}{2}}(g-{\displaystyle \frac{1}{g}})+{\displaystyle \frac{x{g}^{\mathrm{\prime }}}{2}}(1+{\displaystyle \frac{1}{g^2}})\mathrm{.}$$整理して$$x{g}^{\mathrm{\prime }}(x)=g(x)(x\mathrm{\ne }0)$$を得る。

(3)
$g\mathrm{/}x$ の導関数が0なので、$g=Cx$ である。$f$ が2次の導関数をもつため左右の定数は一致する。したがって$$f(x)={\displaystyle \frac{C}{2}}{x}^2-1.$$これを(1)へ代入して両辺を2乗すると、$x^2$ の係数から$$C=1-C$$となり $C=1\mathrm{/}2$ である。ゆえに$$f(x)={\displaystyle \frac{x^2}{4}}-1.$$