大阪大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

単位時間あたりに注入される水の体積を $Q$ とする。高さ $h$ における水面の面積を $A(h)$ とすると、短い時間 $dt$ の間に増える水の体積は $A(h)dh=A(h)v(h)dt$ である。注入量は一定だから $A(h)v(h)=Q$ であり、$A(h)$ は $v(h)$ に反比例する。したがって水面の面積が最大となるのは、$v(h)$ が最小となるときである。 $u=2+h$ とおくと、$0\leqq h\leqq 10$ より $2\leqq u\leqq 12$ であり、$$v=\frac{\sqrt{u}}{\log u}$$ である。この範囲では $\log u>0$ である。微分すると$$\frac{dv}{du}=\frac{\frac{1}{2\sqrt{u}}\log u-\sqrt{u}\cdot \frac{1}{u}}{(\log u{)}^2}=\frac{\log u-2}{2\sqrt{u}(\log u{)}^2}$$である。分母は正なので、$v$ は $$2<u<e^2\text{ で減少},e^2<u<12\text{ で増加}$$ する。$2<e^2<12$ だから、$v$ は $u=e^2$、すなわち $h=e^2-2$ で最小となる。

求める時間を $T$ とする。$$v=\frac{dh}{dt}$$ より $$dt=\frac{dh}{v(h)}$$ であるから$$T={\int }_0^{e^2-2}\frac{dh}{v(h)}={\int }_0^{e^2-2}\frac{\log (2+h)}{\sqrt{2+h}}dh$$である。$u=2+h$ とおくと $$T={\int }_2^{e^2}\frac{\log u}{\sqrt{u}}du$$ である。さらに $$w=\sqrt{u}$$ とおけば、$u=w^2$、$du=2wdw$ なので$$\frac{\log u}{\sqrt{u}}du=\frac{\log (w^2)}{w}\cdot 2wdw=4\log wdw$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T}& {\displaystyle =4{\int }_{\sqrt{2}}^e\log wdw}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4[w\log w-w{]}_{\sqrt{2}}^e}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\{0-(\sqrt{2}\log \sqrt{2}-\sqrt{2})\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\sqrt{2}(1-\frac{1}{2}\log 2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle 2\sqrt{2}(2-\log 2)}}\end{array}$$である。