大阪大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

直線 $l:y=px+1$ 上の点は $(x,px+1)$ と表される。これを $A$ で移すと$$A\left(\begin{array}{c}x\\ px+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}(a+bp)x+b\\ (c+dp)x+d\end{array}\right)$$である。この点が常に直線 $l^{\mathrm{\prime }}:y=qx$ 上にあるから，すべての実数 $x$ について $$(c+dp)x+d=q\{(a+bp)x+b\}$$ が成り立つ。

定数項を比較して $d=qb$ である。また $x$ の係数を比較すると $c+dp=q(a+bp)$ である。ここへ $d=qb$ を代入して $c+qbp=qa+qbp$ となるので $c=qa$ を得る。したがって$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ qa& qb\end{array}\right)$$である。

この形を用いて $A^2$ を計算する。$$A^2=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ qa& qb\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ qa& qb\end{array}\right)$$であり，成分を計算すると$$A^2=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+qab& ab+q{b}^2\\ q{a}^2+q^{2}ab& qab+q^2{b}^2\end{array}\right)=(a+qb)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ qa& qb\end{array}\right)$$である。よって $A^2=(a+qb)A$ が成り立つ。

もし $a+qb=0$ ならば $A^2=(a+qb)A=0$ となり，$A^2$ は零行列になる。仮定では $A^2$ は零行列でないから $a+qb\mathrm{\ne }0$ である。

いま $l^{\mathrm{\prime }}$ 上の点は $(x,qx)=x(1,q)$ と書ける。これを $A$ で移すと$$A\left(\begin{array}{c}x\\ qx\end{array}\right)=x\left(\begin{array}{c}a+qb\\ qa+q^{2}b\end{array}\right)=x(a+qb)\left(\begin{array}{c}1\\ q\end{array}\right)$$である。これは $l^{\mathrm{\prime }}$ 上の点である。

さらに $a+qb\mathrm{\ne }0$ なので，$t(1,q)$ という $l^{\mathrm{\prime }}$ 上の任意の点に対して $$x=\frac{t}{a+qb}$$ と選べば$$A\left(\begin{array}{c}x\\ qx\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}1\\ q\end{array}\right)$$となる。したがって，$f$ により $l^{\mathrm{\prime }}$ から得られる点全体は $l^{\mathrm{\prime }}$ である。