大阪大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
点 $P$ の座標は $P=(x,f(x))$ である。原点 $O$ と $P$ を結ぶ直線の傾きは $\frac{f(x)}{x}$ だから $$\tan \theta =\frac{f(x)}{x}$$ である。$0<\theta <\pi \mathrm{/}4$ より $$0<\frac{f(x)}{x}<1$$ である。

点 $P$ における接線が $x$ 軸となす角は $2\theta$ なので，接線の傾きは $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\tan 2\theta$ である。倍角公式より $$\tan 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }$$ であるから $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{2\frac{f(x)}{x}}{1-{\left(\frac{f(x)}{x}\right)}^2}$$ となる。分母分子を整理して $${\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{2xf(x)}{x^2-f(x{)}^2}}$$ を得る。

(2) $$u=\frac{f(x)}{x}$$ とおく。すると $f(x)=xu$ であり，$f^{\mathrm{\prime }}(x)=u+x{u}^{\mathrm{\prime }}$ である。(1) の式は $$u+x{u}^{\mathrm{\prime }}=\frac{2u}{1-u^2}$$ となる。したがって $$x{u}^{\mathrm{\prime }}=\frac{2u}{1-u^2}-u=\frac{2u-u(1-u^2)}{1-u^2}=\frac{u(1+u^2)}{1-u^2}$$ である。

一方，$$g(x)=u+\frac{1}{u}$$ であるから $$g^{\mathrm{\prime }}(x)=u^{\mathrm{\prime }}(1-\frac{1}{u^2})$$ である。上で求めた $u^{\mathrm{\prime }}$ を代入すると $$g^{\mathrm{\prime }}=\frac{u(1+u^2)}{x(1-u^2)}\cdot \frac{u^2-1}{u^2}=-\frac{1+u^2}{xu}$$ である。ところが $$\frac{1+u^2}{u}=u+\frac{1}{u}=g$$ だから $${\displaystyle g^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{g(x)}{x}}$$ となる。

(3)
(2)
の微分方程式から $$g^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{g(x)}{x}$$ である。したがって $x{g}^{\mathrm{\prime }}(x)+g(x)=0$ となり，$(xg(x){)}^{\mathrm{\prime }}=0$ である。よって，ある定数 $C$ を用いて $xg(x)=C$ と書ける。すなわち $$g(x)=\frac{C}{x}$$ である。

定数 $C$ を決める。$u=f(x)\mathrm{/}x$ とおくと，(1) の式は $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{2u}{1-u^2}$$ である。$0<u<1$ であり，仮定より $x\to 1$ のとき $f^{\mathrm{\prime }}(x)\to \mathrm{\infty }$ だから，分母が $0$ に近づく必要がある。したがって $u\to 1$ である。よって $$g(x)=u+\frac{1}{u}\to 2$$ となる。さらに $x\to 1$ であるから $C={\lim }_{x\to 1}xg(x)=2$ である。

したがって $$\frac{f(x)}{x}+\frac{x}{f(x)}=\frac{2}{x}$$ である。両辺に $xf(x)$ を掛けると $f(x{)}^2+x^2=2f(x)$ であり，$x^2+(f(x)-1{)}^2=1$ となる。よって $$f(x)=1\pm \sqrt{1-x^2}$$ である。

最後に枝を選ぶ。$0<\theta <\pi \mathrm{/}4$ より $0<f(x)<x$ である。$0<x<1$ では $$1+\sqrt{1-x^2}>1>x$$ なので，これは不適である。したがって $${\displaystyle f(x)=1-\sqrt{1-x^2}(0<x<1)}$$ である。実際この関数では $0<f(x)<x$ が成り立ち，$x\to 1$ で $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\to \mathrm{\infty }$$ となる。