大阪大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

底面を $z=0$ に置き$$A=(-1\mathrm{/}2,-1\mathrm{/}2,0),B=(1\mathrm{/}2,-1\mathrm{/}2,0),C=(1\mathrm{/}2,1\mathrm{/}2,0),D=(-1\mathrm{/}2,1\mathrm{/}2,0)$$とする。4本の側辺は長さ1なので $E=(0,0,1\mathrm{/}\sqrt{2})$ と置ける。また$$M=(-1\mathrm{/}2,0,0),N=(1\mathrm{/}2,0,0)\mathrm{.}$$$AP=x$ かつ $AE=1$ より$$P=({\displaystyle \frac{x-1}{2}},{\displaystyle \frac{x-1}{2}},{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{2}}})\mathrm{.}$$(1)$$M{P}^2={\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{(x-1{)}^2}{4}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}=x^2-{\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$従って$$MP={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{4x^2-2x+1}\mathrm{.}$$(2) 切断平面は $MN$ 方向を含むため、辺 $BE$ 上で $BQ=x$ となる点 $Q$ も通る。上底 $PQ$ は $MN$ と平行で$$MN=1,PQ=1-x\mathrm{.}$$台形の高さを $h$ とすると、脚 $MP$ の底辺方向成分が $x\mathrm{/}2$ だから$$h^2=M{P}^2-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}={\displaystyle \frac{3x^2-2x+1}{4}}\mathrm{.}$$よって$$S={\displaystyle \frac{MN+PQ}{2}}h={\displaystyle \frac{2-x}{4}}\sqrt{3x^2-2x+1}\mathrm{.}$$(3) $0<x<1$ である。$$16S^2=(2-x{)}^2(3x^2-2x+1)$$ を微分すると$${\displaystyle \frac{d}{dx}}(16S^2)=-6(2-x)(2x-1)(x-1)\mathrm{.}$$従って $x=1\mathrm{/}2$ で最小となり、$$S_{\min }={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{16}}\mathrm{.}$$

切断面を相似比から等脚台形として捉え、脚と上下底を求める。面積の最小化は微分せず、$16S^2-27\mathrm{/}16$ を $(2x-1{)}^2$ を含む積へ因数分解して等号条件を読む。

辺 $BE$ 上で $BQ=x$ となる点を $Q$ とする。三角形 $AEB$ で $AP\mathrm{/}AE=BQ\mathrm{/}BE=x$ だから$$PQ\parallel AB,PQ=1-x\mathrm{.}$$また $MN\parallel AB$ で $MN=1$ なので、切断面は等脚台形 $MNPQ$ である。

(1)
座標を$$A=(-{\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}},0),E=(0,0,{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}),M=(-{\displaystyle \frac{1}{2}},0,0)$$と置けば$$P=({\displaystyle \frac{x-1}{2}},{\displaystyle \frac{x-1}{2}},{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{2}}})\mathrm{.}$$よって$$M{P}^2=x^2-{\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}},MP={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{4x^2-2x+1}\mathrm{.}$$(2)
脚 $MP$ の底辺方向成分は $x\mathrm{/}2$ だから台形の高さ $h$ は$$h^2=M{P}^2-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}={\displaystyle \frac{3x^2-2x+1}{4}}\mathrm{.}$$したがって$$S={\displaystyle \frac{MN+PQ}{2}}h={\displaystyle \frac{2-x}{4}}\sqrt{3x^2-2x+1}\mathrm{.}$$(3)
$0<x<1$ である。代数的に$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 16S^2-{\displaystyle \frac{27}{16}}}& {\displaystyle =(2-x{)}^2(3x^2-2x+1)-{\displaystyle \frac{27}{16}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(2x-1{)}^2(12x^2-44x+37)}{16}}\mathrm{.}}\end{array}$$$0<x<1$ では $12x^2-44x+37>5>0$ だから、右辺は0以上である。等号は $x=1\mathrm{/}2$ のときに限る。よって$$x={\displaystyle \frac{1}{2}},S_{\min }={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{16}}\mathrm{.}$$