大阪大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

点 $(0,0,2)$ を $A$ とおく。$P$ は $z=0$ 上の単位円周上を動くので $$P=(\cos \theta ,\sin \theta ,0)$$ と表せる。

直線 $AP$ 上の点は、実数 $\lambda$ を用いて $$(x,y,z)=(0,0,2)+\lambda (\cos \theta ,\sin \theta ,-2)$$ と書ける。これが平面 $x+y+z=-2$ 上にある条件は $$\lambda \cos \theta +\lambda \sin \theta +2-2\lambda =-2$$ である。したがって $$\lambda (2-\cos \theta -\sin \theta )=4$$ となる。ここで $$\cos \theta +\sin \theta \leqq \sqrt{2}<2$$ なので分母は正であり、$$\lambda ={\displaystyle \frac{4}{2-(\cos \theta +\sin \theta )}}$$ である。

よって $Q$ の $z$ 座標は $$z=2-2\lambda =2-{\displaystyle \frac{8}{2-(\cos \theta +\sin \theta )}}$$ である。ここで $u=\cos \theta +\sin \theta$ とおくと $$-\sqrt{2}\leqq u\leqq \sqrt{2}$$ であり、$$z=2-{\displaystyle \frac{8}{2-u}}$$ である。この関数は $${\displaystyle \frac{d}{du}}(2-{\displaystyle \frac{8}{2-u}})=-{\displaystyle \frac{8}{(2-u{)}^2}}<0$$ だから、$u$ が小さいほど $z$ は大きい。

したがって最大値は $u=-\sqrt{2}$ のとき $$2-{\displaystyle \frac{8}{2+\sqrt{2}}}=4\sqrt{2}-6$$ であり、最小値は $u=\sqrt{2}$ のとき $$2-{\displaystyle \frac{8}{2-\sqrt{2}}}=-6-4\sqrt{2}$$ である。

直線 $AP$ と平面上の交点 $Q$

交点 $Q=(X,Y,Z)$ から直線と単位円の条件を消去する。
$Q$ と円周上の点 $P$ の相似比を $Z$ で表し、
$X+Y$ に対するコーシー・シュワルツの不等式を必要十分に用いる。

$A=(0,0,2)$、$Q=(X,Y,Z)$ とする。直線 $AP$ 上で$$Q=A+t(P-A)$$と書くと、$z$ 座標から$$t={\displaystyle \frac{2-Z}{2}}\mathrm{.}$$$P=(u,v,0)$、$u^2+v^2=1$ だから$$X^2+Y^2=t^2={\displaystyle \frac{(2-Z{)}^2}{4}}\mathrm{.}$$また $Q$ は平面 $x+y+z=-2$ 上にあるので$$X+Y=-2-Z\mathrm{.}$$実数 $X,Y$ がこの和と二乗和を同時に満たすための必要十分条件は$$(X+Y{)}^2\leqq 2(X^2+Y^2)$$である。したがって$$(Z+2{)}^2\leqq {\displaystyle \frac{(2-Z{)}^2}{2}}\mathrm{.}$$整理すると$$Z^2+12Z+4\leqq 0.$$二次方程式の2根は$$-6-4\sqrt{2},-6+4\sqrt{2}$$だから$$-6-4\sqrt{2}\leqq Z\leqq -6+4\sqrt{2}\mathrm{.}$$等号は $X=Y$ または $X=-Y$ に対応して実現する。よって
最大値は $-6+4\sqrt{2}$、最小値は $-6-4\sqrt{2}$ である。