大阪大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
内分比を、$OP:PA=t:1-t$、$AQ:QB=t:1-t$、$BR:RO=t:1-t$ と読む。すると$$\overrightarrow{OP}=t\vec{a},\overrightarrow{OQ}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b},\overrightarrow{OR}=(1-t)\vec{b}$$である。よって$$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}=(1-2t)\vec{a}+t\vec{b}$$であり、また$$\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OP}=-t\vec{a}+(1-t)\vec{b}$$である。

(2) $A=\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2$、$B=\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2$、$C=\vec{a}\cdot \vec{b}$ とおく。与えられた条件は、$0<t<1$ のすべてで$${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\overrightarrow{PQ}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{PR}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }}}$$が成り立つことである。両辺は正なので二乗して $$A\mathrm{\mid }\overrightarrow{PQ}{\mathrm{\mid }}^2=B\mathrm{\mid }\overrightarrow{PR}{\mathrm{\mid }}^2$$ とできる。

(1) より $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{PQ}{\mathrm{\mid }}^2=(1-2t{)}^{2}A+t^{2}B+2t(1-2t)C$$ であり、$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{PR}{\mathrm{\mid }}^2=t^{2}A+(1-t{)}^{2}B-2t(1-t)C$$ である。したがって $$A\{(1-2t{)}^{2}A+t^{2}B+2t(1-2t)C\}=B\{t^{2}A+(1-t{)}^{2}B-2t(1-t)C\}$$ が $t$ の恒等式になる。

定数項を比較すると $A^2=B^2$ である。$A,B>0$ なので $A=B$ を得る。このとき上の恒等式は $$A\{\mathrm{\mid }\overrightarrow{PQ}{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }\overrightarrow{PR}{\mathrm{\mid }}^2\}=0$$ となる。$A>0$ だから、差を計算すれば $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{PQ}{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }\overrightarrow{PR}{\mathrm{\mid }}^2=t(2-3t)(-A+2C)$$ である。これがすべての $0<t<1$ で $0$ になるためには $$C={\displaystyle \frac{A}{2}}$$ が必要である。

よって$$\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid },{\displaystyle \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$であるから、$OA=OB$ かつ $\mathrm{\angle }AOB={60}^{\circ }$ である。したがって $\mathrm{△}OAB$ は正三角形である。

逆に $\mathrm{△}OAB$ が正三角形なら $A=B$、$C=A\mathrm{/}2$ である。上の式に代入すると $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{PQ}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\overrightarrow{PR}{\mathrm{\mid }}^2$$ となり、さらに $\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }$ なので、与えられた比の条件はすべての $t$ で成り立つ。ゆえに答えは ${\displaystyle \mathrm{△}OAB\text{ が正三角形であるとき}}$ である。

恒等式の全係数を比較する代わりに、条件がすべての $t$ で成り立つことから
$t\to 0$ と $t=1\mathrm{/}2$ だけを使って辺長と角を決める。
最後に得られた正三角形が十分条件であることを一般の $t$ へ代入して確認する。

(1)

内分点の位置ベクトルは$$\overrightarrow{OP}=t\mathit{a},\overrightarrow{OQ}=(1-t)\mathit{a}+t\mathit{b},\overrightarrow{OR}=(1-t)\mathit{b}\mathrm{.}$$よって$$\overrightarrow{PQ}=(1-2t)\mathit{a}+t\mathit{b},$$$$\overrightarrow{PR}=-t\mathit{a}+(1-t)\mathit{b}\mathrm{.}$$(2)

比の等式がすべての $0<t<1$ で成り立つとする。
$t\to 0$ とすると$${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\mathit{a}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\mathit{b}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\mathit{b}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\mathit{a}\mathrm{\mid }}},$$したがって$$\mathrm{\mid }\mathit{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\mathit{b}\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$次に $t=1\mathrm{/}2$ とすると$$\overrightarrow{PQ}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathit{b},\overrightarrow{PR}={\displaystyle \frac{1}{2}}(\mathit{b}-\mathit{a})\mathrm{.}$$右辺の辺長比が1なので$$\mathrm{\mid }\mathit{b}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\mathit{b}-\mathit{a}\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$これを二乗し、$$\mathrm{\mid }\mathit{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\mathit{b}\mathrm{\mid }$$ を使うと$$\mathit{a}\cdot \mathit{b}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\mathit{a}{\mathrm{\mid }}^2}{2}}\mathrm{.}$$よって $OA=OB$ かつ $\mathrm{\angle }AOB={60}^{\circ }$ であり、
$\mathrm{△}OAB$ は正三角形である。

逆に$$\mathrm{\mid }\mathit{a}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\mathit{b}{\mathrm{\mid }}^2=A,\mathit{a}\cdot \mathit{b}={\displaystyle \frac{A}{2}}$$を (1) の式へ代入すると$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{PQ}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\overrightarrow{PR}{\mathrm{\mid }}^2=A(1-3t+3t^2)\mathrm{.}$$また $$\mathrm{\mid }\mathit{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\mathit{b}\mathrm{\mid }$$ だから、問題の比はすべての
$t$ で成り立つ。したがって必要十分条件は正三角形である。