大阪大学 1995年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

$A_n=(x_n,y_n,0)$とする。$H$の法線は$(1,1,1)$であり、$A_n+\lambda (1,1,1)\in H$から$${\lambda }_n={\displaystyle \frac{3-x_n-y_n}{3}}\mathrm{.}$$従って$$A_{n+1}=(x_n+{\lambda }_n,y_n+{\lambda }_n,0)$$。
(1)$$x_{n+1}={\displaystyle \frac{2x_n-y_n+3}{3}},y_{n+1}={\displaystyle \frac{-x_n+2y_n+3}{3}}\mathrm{.}$$従って$a=2\mathrm{/}3,b=-1\mathrm{/}3,c=1$、$a^{\mathrm{\prime }}=-1\mathrm{/}3,b^{\mathrm{\prime }}=2\mathrm{/}3,c^{\mathrm{\prime }}=1$。
(2)
求める平面の法線は$(1,1,1)$と$(0,0,1)$の両方に垂直な$(1,-1,0)$。従って$$x-y=x_1-y_1\mathrm{.}$$(3)$$\overrightarrow{A_n{B}_n}={\lambda }_n(1,1,1)$$、$$\overrightarrow{B_n{A}_{n+1}}=-{\lambda }_n(0,0,1)$$なので面積は$\sqrt{2}{\lambda }_n^2\mathrm{/}2$。また(1)から$${\lambda }_{n+1}={\lambda }_n\mathrm{/}3$$だから$$[A_1{B}_1{A}_2]:[A_2{B}_2{A}_3]=9:1.$$(4)
$d_n=x_n-y_n$、$s_n=x_n+y_n$とおくと$$d_{n+1}=d_n,s_{n+1}=2+{\displaystyle \frac{s_n}{3}}\mathrm{.}$$従って$$d_n=x_1-y_1,s_n=3+{\displaystyle \frac{x_1+y_1-3}{3^{n-1}}}\mathrm{.}$$よって$$x_n={\displaystyle \frac{1}{2}}(3+x_1-y_1+{\displaystyle \frac{x_1+y_1-3}{3^{n-1}}}),$$$$y_n={\displaystyle \frac{1}{2}}(3-x_1+y_1+{\displaystyle \frac{x_1+y_1-3}{3^{n-1}}})\mathrm{.}$$2平面間の直交射影

$xy$ 平面上の点を2次元のアフィン写像で更新する。
更新行列の固有方向 $(1,-1)$、$(1,1)$ へ分解して、
不変平面、面積比、一般項を同じ計算から導く。

$A_n=(x_n,y_n,0)$ とする。平面 $H$ の法線は
$(1,1,1)$ なので$$B_n=A_n+{\lambda }_n(1,1,1),{\lambda }_n={\displaystyle \frac{3-x_n-y_n}{3}}\mathrm{.}$$$A_{n+1}$ は $B_n$ の $xy$ 平面への正射影である。

(1)

従って$$\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ y_{n+1}\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$よって$$a=b^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{2}{3}},b=a^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{1}{3}},c=c^{\mathrm{\prime }}=1.$$(2)

差の方向 $(1,-1)$ は固有値1だから$$x_{n+1}-y_{n+1}=x_n-y_n\mathrm{.}$$すべての $A_n,B_n$ は$$x-y=x_1-y_1$$上にあり、この平面の法線 $(1,-1,0)$ は
$H$ と $xy$ 平面の法線の両方に垂直である。

(3)

和の方向 $(1,1)$ の固有値は $1\mathrm{/}3$ なので$${\lambda }_{n+1}={\displaystyle \frac{{\lambda }_n}{3}}\mathrm{.}$$三角形 $A_n{B}_n{A}_{n+1}$ の面積は$${\displaystyle \frac{1}{2}}\mid {\lambda }_n(1,1,1)\times \{-{\lambda }_n(0,0,1)\}\mid ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{\lambda }_n^2\mathrm{.}$$よって面積比は $9:1$ である。

(4) $$d_n=x_n-y_n,s_n=x_n+y_n$$とおくと$$d_n=x_1-y_1,s_n=3+{\displaystyle \frac{x_1+y_1-3}{3^{n-1}}}\mathrm{.}$$従って$$x_n={\displaystyle \frac{1}{2}}(3+x_1-y_1+{\displaystyle \frac{x_1+y_1-3}{3^{n-1}}}),$$$$y_n={\displaystyle \frac{1}{2}}(3-x_1+y_1+{\displaystyle \frac{x_1+y_1-3}{3^{n-1}}})\mathrm{.}$$