大阪大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

接点の $x$ 座標を $t$ とする。曲線は $$y=-{\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}$$ である。以下 $$r={\displaystyle \frac{e^t+e^{-t}}{2}},s={\displaystyle \frac{e^t-e^{-t}}{2}}$$ とおく。このとき接点は $(t,-r)$ であり、また $r^2-s^2=1$ である。

微分すると $$f^{\mathrm{\prime }}(t)=-{\displaystyle \frac{e^t-e^{-t}}{2}}=-s$$ である。したがって、右向きの接線方向の単位ベクトルは $({\displaystyle \frac{1}{r}},-{\displaystyle \frac{s}{r}})$ であり、上向きの単位法線ベクトルは $({\displaystyle \frac{s}{r}},{\displaystyle \frac{1}{r}})$ である。

次に、滑らない条件を長さで表す。$x=0$ から $x=t$ までの曲線の長さは$${\int }_0^t\sqrt{1+\{f^{\mathrm{\prime }}(x){\}}^2}dx={\int }_0^t{\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}dx={\displaystyle \frac{e^t-e^{-t}}{2}}=s$$である。滑ることなく転がるので、接点は辺 $QR$ 上で、初めの中点 $M$ から距離 $s$ だけ動いた位置にある。

正三角形の高さを $$h={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}a$$ とおく。接点から中点 $M$ へ向かう向きは、接線方向と反対向きで距離 $s$ であるから、その $y$ 成分の増加は $s\cdot {\displaystyle \frac{s}{r}}$ である。また $M$ から $P$ へは上向き法線方向に距離 $h$ だけ進むので、その $y$ 成分の増加は $h\cdot {\displaystyle \frac{1}{r}}$ である。

したがって点 $P$ の $y$ 座標は $$-r+{\displaystyle \frac{s^2}{r}}+{\displaystyle \frac{h}{r}}={\displaystyle \frac{-r^2+s^2+h}{r}}={\displaystyle \frac{h-1}{r}}$$ である。最初の状態は $t=0$ で $r=1$ だから、この値は $h-1$ である。

点 $R$ が初めて曲線上にくるまでの間、$t$ は $0$ から正の範囲を動き、$r$ は一定ではない。よって ${\displaystyle \frac{h-1}{r}}$ が一定であるためには $h-1=0$ が必要である。また $h=1$ なら上の式は常に $0$ なので、これは十分でもある。

したがって $${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}a=1$$ より $$a={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}$$ である。

曲線に接して転がる正三角形

滑らずに転がる剛体の瞬間中心が接点であることを使う。
点 $P$ の鉛直速度が常に0となる条件を、
接点から $P$ への水平成分だけで判定する。

接点の $x$ 座標を $t>0$ とし$$r=\cosh t,s=\sinh t$$とおく。接点は $C_t=(t,-r)$ で、右向き単位接線と
上向き単位法線は$$\mathit{T}=({\displaystyle \frac{1}{r}},-{\displaystyle \frac{s}{r}}),\mathit{N}=({\displaystyle \frac{s}{r}},{\displaystyle \frac{1}{r}})$$である。

$0$ から $t$ までの曲線の弧長は$${\int }_0^t\sqrt{1+{\sinh }^{2}x}dx={\int }_0^t\cosh xdx=s\mathrm{.}$$滑らないので、接点から辺 $QR$ の中点 $M$ へのベクトルは
$-s\mathit{T}$ である。正三角形の高さを
$h=\sqrt{3}a\mathrm{/}2$ とすると$$\overrightarrow{C_{t}P}=-s\mathit{T}+h\mathit{N}\mathrm{.}$$その $x$ 成分は$$-{\displaystyle \frac{s}{r}}+h{\displaystyle \frac{s}{r}}={\displaystyle \frac{s(h-1)}{r}}\mathrm{.}$$滑らずに転がる剛体は、その瞬間には接点 $C_t$ を中心に回転する。
従って $P$ の速度は $\overrightarrow{C_{t}P}$ に垂直であり、
その鉛直成分が0となるための必要十分条件は
$\overrightarrow{C_{t}P}$ の水平成分が0であることである。
$t>0$ では $s>0$ だから、全区間で $P$ の高さが一定となるのは$$h=1$$のときに限る。よって$${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}a=1,a={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$