大阪大学 1995年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=x^3+3a_1{x}^2+2a_{2}x+a_3=(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )\mathrm{.}$$係数比較から$$a_1=-{\displaystyle \frac{\alpha +\beta +\gamma }{3}},a_2={\displaystyle \frac{\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha }{2}},a_3=-\alpha \beta \gamma \mathrm{.}$$(2)
$d=\beta -\alpha$、$e=\gamma -\beta$とおく。$x=\alpha +t$として$${\displaystyle \frac{f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}={\displaystyle \frac{1}{d}}{\int }_0^{d}t(t-d)(t-d-e)dt={\displaystyle \frac{d^2(d+2e)}{12}}\mathrm{.}$$従って傾きは$${\displaystyle \frac{(\beta -\alpha {)}^2(2\gamma -\alpha -\beta )}{12}}\mathrm{.}$$(3)
等差数列なら$d=e=h>0$で、$AB$の傾きは$h^3\mathrm{/}4$。同様に$BC$の傾きは$-h^3\mathrm{/}4$である。直交条件から$-h^6\mathrm{/}16=-1$、従って$$\beta -\alpha =h=2^{2\mathrm{/}3}\mathrm{.}$$(4)
$f$が偶関数なので$a_1=a_3=0$、3つの極値点は$$\alpha =-h,\beta =0,\gamma =h$$である。$f^{\mathrm{\prime }}(x)=x(x^2-h^2)$より$f(x)=x^4\mathrm{/}4-h^2{x}^2\mathrm{/}2+1$。従って$B=(0,1)$、$A,C$の高さは$1-h^4\mathrm{/}4$である。求める放物線を$y=1+k{x}^2$とすると$k{h}^2=-h^4\mathrm{/}4$だから$$y=1-{\displaystyle \frac{h^2}{4}}{x}^2=1-{\displaystyle \frac{x^2}{2^{2\mathrm{/}3}}}\mathrm{.}$$3極値点と2本の弦

$f^{\mathrm{\prime }}$ の3根をヴィエタの公式で係数へ戻す。
等差条件では中央の極値点を原点とする変数に平行移動し、
奇関数型の導関数を対称区間で積分して2本の弦の傾きを求める。

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=x^3+3a_1{x}^2+2a_{2}x+a_3=(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )\mathrm{.}$$ヴィエタの公式より$$a_1=-{\displaystyle \frac{\alpha +\beta +\gamma }{3}},a_2={\displaystyle \frac{\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha }{2}},a_3=-\alpha \beta \gamma \mathrm{.}$$(2)

$d=\beta -\alpha$、$e=\gamma -\beta$ とし $x=\alpha +t$ とおく。$${\displaystyle \frac{f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}={\displaystyle \frac{1}{d}}{\int }_0^{d}t(t-d)(t-d-e)dt={\displaystyle \frac{d^2(d+2e)}{12}}\mathrm{.}$$従って傾きは$${\displaystyle \frac{(\beta -\alpha {)}^2(2\gamma -\alpha -\beta )}{12}}\mathrm{.}$$(3)

等差間隔を $h>0$ とすると、$u=x-\beta$ により$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=u(u^2-h^2)\mathrm{.}$$対称性から弦 $AB,BC$ の傾きはそれぞれ$${\displaystyle \frac{h^3}{4}},-{\displaystyle \frac{h^3}{4}}\mathrm{.}$$直交条件は$$-{\displaystyle \frac{h^6}{16}}=-1$$だから$$\beta -\alpha =h=2^{2\mathrm{/}3}\mathrm{.}$$(4)

偶関数なら $a_1=a_3=0$。3つの相異なる極値の配置は$$\alpha =-h,\beta =0,\gamma =h$$であり$$f(x)={\displaystyle \frac{x^4}{4}}-{\displaystyle \frac{h^2{x}^2}{2}}+1.$$$B=(0,1)$、$A,C$ の高さは $1-h^4\mathrm{/}4$ である。
軸が $y$ 軸に平行で3点を通る放物線は$$y=1-{\displaystyle \frac{h^2}{4}}{x}^2=1-{\displaystyle \frac{x^2}{2^{2\mathrm{/}3}}}\mathrm{.}$$