大阪大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)

放物線は原点 $O$ を通るので $f(x)=u{x}^2+vx$ とおける。点 $P(a,a^3)$ を通ることから $u{a}^2+va=a^3$ であり、$a\mathrm{\ne }0$ なので $ua+v=a^2$ である。同様に、点 $Q(b,b^3)$ を通ることから $ub+v=b^2$ である。 $a\mathrm{\ne }b$ であるから、2式を引いて $$u={\displaystyle \frac{a^2-b^2}{a-b}}=a+b$$ を得る。これを $ua+v=a^2$ に代入して $v=a^2-a(a+b)=-ab$ である。したがって $f(x)=(a+b)x^2-abx$ である。

(2)

(1) より $$x^3-f(x)=x^3-(a+b)x^2+abx=x(x-a)(x-b)$$ である。したがって $${\int }_0^a\{x^3-f(x)\}dx={\int }_0^a\{x^3-(a+b)x^2+abx\}dx$$ であり、右辺は$${\displaystyle \frac{a^4}{4}}-{\displaystyle \frac{(a+b)a^3}{3}}+{\displaystyle \frac{ab{a}^2}{2}}={\displaystyle \frac{3a^4-4a^4-4a^{3}b+6a^{3}b}{12}}={\displaystyle \frac{a^3(2b-a)}{12}}$$である。

点 $P$ は $O$ と異なるので $a\mathrm{\ne }0$ である。よって積分値が $0$ となる条件は $2b-a=0$ であり、$$b={\displaystyle \frac{a}{2}}$$ である。この値は $a\mathrm{\ne }0$ のもとで $b\mathrm{\ne }a$ かつ $b\mathrm{\ne }-a$ を満たすので、問題の条件にも反しない。

三交点をもつ三次曲線と放物線

$x^3-f(x)$ の最高次係数と3つの零点を先に使い、
二次式 $f$ を連立方程式なしで決める。
(2)では $x=au$ と尺度をそろえ、積分を無次元化して条件を読む。

(1)

$y=x^3$ と $y=f(x)$ は $x=0,a,b$ で交わる。
$x^3-f(x)$ は最高次係数1の三次式だから$$x^3-f(x)=x(x-a)(x-b)\mathrm{.}$$よって$$f(x)=x^3-x(x-a)(x-b)=(a+b)x^2-abx\mathrm{.}$$(2)

$a\text{neqq}0$ なので $x=au$ とおく。すると$${\int }_0^a\{x^3-f(x)\}dx={\int }_0^{a}x(x-a)(x-b)dx$$は$$a^4{\int }_0^{1}u(u-1)(u-{\displaystyle \frac{b}{a}})du$$となる。積分すると$${\int }_0^{1}u(u-1)(u-k)du={\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1+k}{3}}+{\displaystyle \frac{k}{2}}={\displaystyle \frac{2k-1}{12}}\mathrm{.}$$ここで $k=b\mathrm{/}a$ である。したがって積分値は$${\displaystyle \frac{a^4}{12}}({\displaystyle \frac{2b}{a}}-1)={\displaystyle \frac{a^3(2b-a)}{12}}\mathrm{.}$$$a\text{neqq}0$ より、これが0となるのは$$b={\displaystyle \frac{a}{2}}$$のときに限る。この値は $a\text{neqq}\pm b$ も満たす。