大阪大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1)
成分を比較すると$$a-{\displaystyle \frac{b+c}{2}}=0,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}(b-c)=0.$$第2式から$b=c$、これを第1式に入れて$a=b=c$を得る。逆に$a=b=c$なら$${\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_3=\mathbf{0}$$より等式が成り立つ。従って必要十分条件である。
(2)
(1)と$n_1+n_2+n_3=3m$より、零ベクトルとなるのは$$n_1=n_2=n_3=m$$のときに限る。従って$$P_m={\displaystyle \frac{(3m)!}{(m!{)}^3}}{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{3m}\mathrm{.}$$特に$$P_1={\displaystyle \frac{3!}{3^3}}={\displaystyle \frac{2}{9}}\mathrm{.}$$(3)
隣接項比は$${\displaystyle \frac{P_m}{P_{m-1}}}={\displaystyle \frac{(3m)(3m-1)(3m-2)}{27m^3}}={\displaystyle \frac{(3m-1)(3m-2)}{9m^2}}\mathrm{.}$$一方、$$(3m-1)(3m-2)(m+1)=9m^3-7m+2<9m^3$$であるから、$m>1$では$${\displaystyle \frac{P_m}{P_{m-1}}}<{\displaystyle \frac{m}{m+1}}\mathrm{.}$$これを$2$から$m$まで用いると$$0<P_m<P_1{\displaystyle \frac{2}{3}}{\displaystyle \frac{3}{4}}\cdots {\displaystyle \frac{m}{m+1}}={\displaystyle \frac{4}{9(m+1)}}\mathrm{.}$$右辺は0に収束するので、はさみうちにより$$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{P}_m=0.$$

3ベクトルを複素平面の3乗根 $1,\omega ,{\omega }^2$ と見なす。零和条件は実部・虚部ではなく、${\omega }^2+\omega +1=0$ と $\omega \mathrm{\notin }\mathbb{R}$ から決める。確率は多項係数で数え、隣接比の各因子を比較する。

(1) $$\omega =-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$$と置くと、3ベクトルは複素数$$1,\omega ,{\omega }^2$$に対応する。条件は$$a+b\omega +c{\omega }^2=0.$$${\omega }^2=-1-\omega$ を使うと$$(a-c)+(b-c)\omega =0.$$$\omega$ は実数でないから$$a-c=0,b-c=0.$$従って $a=b=c$。逆は$$1+\omega +{\omega }^2=0$$から明らかである。

(2)
$n_1+n_2+n_3=3m$ と (1) より$$n_1=n_2=n_3=m$$だけが零ベクトルを与える。従って$$P_m={\displaystyle \frac{(3m)!}{(m!{)}^3{3}^{3m}}},P_1={\displaystyle \frac{2}{9}}\mathrm{.}$$(3)$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{P_m}{P_{m-1}}}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(3m)(3m-1)(3m-2)}{27m^3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-{\displaystyle \frac{1}{3m}})(1-{\displaystyle \frac{2}{3m}})\mathrm{.}}\end{array}$$一方、$$(3m-1)(3m-2)(m+1)=9m^3-7m+2<9m^3$$$(m>1)$ だから$$P_m<{\displaystyle \frac{m}{m+1}}{P}_{m-1}\mathrm{.}$$これを反復すると$$0<P_m<{\displaystyle \frac{2}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}\cdots {\displaystyle \frac{m}{m+1}}={\displaystyle \frac{4}{9(m+1)}}\mathrm{.}$$従って$$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{P}_m=0.$$