大阪大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $t=x\log a$ とおく。$a>1$、$x\geqq 0$ なので $t\geqq 0$ である。また $a^x=e^t$ である。

まず下側の不等式を示す。$1$ と $e^t$ は正なので $$1+e^t\geqq 2\sqrt{e^t}=2e^{t\mathrm{/}2}$$ である。両辺の対数をとると $$\log (1+e^t)\geqq \log 2+{\displaystyle \frac{t}{2}}$$ である。これは $$\log 2+{\displaystyle \frac{x}{2}}\log a\leqq \log (1+a^x)$$ を意味する。

次に上側を示す。 $$F(t)=\log (1+e^t)-\log 2-{\displaystyle \frac{t}{2}}$$ とおく。すると $F(0)=0$ であり、$$F^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{e^t}{1+e^t}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ なので $F^{\mathrm{\prime }}(0)=0$ である。また $$F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{e^t}{(1+e^t{)}^2}}$$ である。ここで $$(1+e^t{)}^2-4e^t=(e^t-1{)}^2\geqq 0$$ より $0<F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。 $t\geqq 0$ で、$F^{\mathrm{\prime }}(0)=0$ だから $$F^{\mathrm{\prime }}(t)={\int }_0^t{F}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(u)du\leqq {\int }_0^t{\displaystyle \frac{1}{4}}du={\displaystyle \frac{t}{4}}$$ である。さらに $F(0)=0$ より $$F(t)={\int }_0^t{F}^{\mathrm{\prime }}(v)dv\leqq {\int }_0^t{\displaystyle \frac{v}{4}}dv={\displaystyle \frac{t^2}{8}}$$ である。したがって $$\log (1+e^t)\leqq \log 2+{\displaystyle \frac{t}{2}}+{\displaystyle \frac{t^2}{8}}$$ である。$t=x\log a$ を戻すと $$\log (1+a^x)\leqq \log 2+{\displaystyle \frac{x}{2}}\log a+{\displaystyle \frac{x^2}{8}}(\log a{)}^2$$ であり、求める不等式が示された。

(2)
(1)で $a=3$、$x=1\mathrm{/}n$ とする。すると$$\log 2+{\displaystyle \frac{\log 3}{2n}}\leqq \log (1+3^{1\mathrm{/}n})\leqq \log 2+{\displaystyle \frac{\log 3}{2n}}+{\displaystyle \frac{(\log 3{)}^2}{8n^2}}$$である。各辺から $\log 2$ を引くと$${\displaystyle \frac{\log 3}{2n}}\leqq \log \left({\displaystyle \frac{1+3^{1\mathrm{/}n}}{2}}\right)\leqq {\displaystyle \frac{\log 3}{2n}}+{\displaystyle \frac{(\log 3{)}^2}{8n^2}}$$である。

ここで $$\log a_n=n\log \left({\displaystyle \frac{1+3^{1\mathrm{/}n}}{2}}\right)$$ だから、上の不等式に $n$ をかけて$${\displaystyle \frac{\log 3}{2}}\leqq \log a_n\leqq {\displaystyle \frac{\log 3}{2}}+{\displaystyle \frac{(\log 3{)}^2}{8n}}$$を得る。右端と左端は $n\to \mathrm{\infty }$ でともに $\log 3\mathrm{/}2$ に近づくので、はさみうちにより $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\log a_n={\displaystyle \frac{\log 3}{2}}$$ である。指数関数は連続なので $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=e^{(\log 3)\mathrm{/}2}=\sqrt{3}$$ である。

$t=x\log a$ とし、誤差関数 $F(t)=\log (1+e^t)-\log 2-t\mathrm{/}2$ の一階導関数を直接評価する。補助関数で $0\leqq F^{\mathrm{\prime }}(t)\leqq t\mathrm{/}4$ を示して積分し、(2)は対数を取った数列をはさみうちする。

(1) $$t=x\log a(t\geqq 0)$$とおき、$$F(t)=\log (1+e^t)-\log 2-{\displaystyle \frac{t}{2}}$$とする。すると$$F^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{e^t-1}{2(1+e^t)}}\geqq 0$$だから $F(t)\geqq F(0)=0$ であり、下側の不等式を得る。

上側の評価のため$$K(t)=t(1+e^t)-2(e^t-1)$$とおく。$$K^{\mathrm{\prime }}(t)=1+(t-1)e^t,K^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=t{e}^t\geqq 0.$$$K^{\mathrm{\prime }}(0)=K(0)=0$ なので $K^{\mathrm{\prime }}(t)\geqq 0$、さらに $K(t)\geqq 0$ である。これは$${\displaystyle \frac{e^t-1}{2(1+e^t)}}\leqq {\displaystyle \frac{t}{4}}$$を意味する。従って$$0\leqq F(t)={\int }_0^t{F}^{\mathrm{\prime }}(u)du\leqq {\int }_0^t{\displaystyle \frac{u}{4}}du={\displaystyle \frac{t^2}{8}}\mathrm{.}$$$t=x\log a$ を戻せば$$\log 2+{\displaystyle \frac{x}{2}}\log a\leqq \log (1+a^x)\leqq \log 2+{\displaystyle \frac{x}{2}}\log a+{\displaystyle \frac{x^2}{8}}(\log a{)}^2\mathrm{.}$$(2)
(1)で $a=3,x=1\mathrm{/}n$ とすると$${\displaystyle \frac{\log 3}{2n}}\leqq \log \left({\displaystyle \frac{1+3^{1\mathrm{/}n}}{2}}\right)\leqq {\displaystyle \frac{\log 3}{2n}}+{\displaystyle \frac{(\log 3{)}^2}{8n^2}}\mathrm{.}$$$n$ 倍して$${\displaystyle \frac{\log 3}{2}}\leqq \log a_n\leqq {\displaystyle \frac{\log 3}{2}}+{\displaystyle \frac{(\log 3{)}^2}{8n}}\mathrm{.}$$はさみうちにより$$\log a_n⟶{\displaystyle \frac{\log 3}{2}},$$従って$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\sqrt{3}\mathrm{.}$$