大阪大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
対数が定義されるためには $x>0,y>0$ が必要である。このもとで各項を整理する。 $${100}^{{\log }_{10}x}=({10}^2{)}^{{\log }_{10}x}=x^2$$ であり、また$${\log }_{1000}{\left({\displaystyle \frac{1}{100}}\right)}^x={\log }_{{10}^3}{10}^{-2x}=-{\displaystyle \frac{2x}{3}}$$である。さらに $${10}^{{\log }_{10}y-{\log }_{10}3}={\displaystyle \frac{y}{3}}$$ である。したがって与えられた不等式は $x^2-{\displaystyle \frac{2x}{3}}+{\displaystyle \frac{y}{3}}\leqq 0$ すなわち $y\leqq 2x-3x^2$ と同値である。

ただし $y>0$ でなければならないので、右辺も正である必要がある。すなわち $2x-3x^2>0$ であり、$x>0$ と合わせて $0<x<{\displaystyle \frac{2}{3}}$ である。よって求める領域は $${\displaystyle 0<x<{\displaystyle \frac{2}{3}},0<y\leqq 2x-3x^2}$$ である。これは、$x$ 軸より上で、放物線 $y=2x-3x^2$ 以下の部分である。ただし $x$ 軸上の点は含まない。

(2) $s=x+y$ とおく。(1)の領域で固定した $x$ に対し、$y$ は $0<y\leqq 2x-3x^2$ を動くから、$s$ は $$x<s\leqq x+2x-3x^2=3x-3x^2$$ を満たす。ここで $$3x-3x^2={\displaystyle \frac{3}{4}}-3{(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2$$ なので、その最大値は $x=1\mathrm{/}2$ のとき ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ である。したがって $0<s\leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}$ である。

逆に、この区間の値はすべて実現する。
$0<s\leqq 2\mathrm{/}3$ では$$(x,y)=({\displaystyle \frac{s}{2}},{\displaystyle \frac{s}{2}})$$とすればよい。実際、$${\displaystyle \frac{s}{2}}\leqq s-{\displaystyle \frac{3s^2}{4}}⟺s\leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}$$である。また $2\mathrm{/}3<s\leqq 3\mathrm{/}4$ では$$(x,y)=({\displaystyle \frac{1}{2}},s-{\displaystyle \frac{1}{2}})$$とすれば $0<y\leqq 1\mathrm{/}4$ となる。よって $s$ の範囲は$$0<s\leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}$$である。

このとき $$u=\sin ({360}^{\circ }s)-\sqrt{3}\cos ({360}^{\circ }s)$$ である。三角関数を合成すると $$u=2\sin ({360}^{\circ }s-{60}^{\circ })$$ である。$0<s\leqq 3\mathrm{/}4$ より $$-{60}^{\circ }<{360}^{\circ }s-{60}^{\circ }\leqq {210}^{\circ }$$ である。この区間で $\sin$ の最大値は ${90}^{\circ }$ で1となり、これは $s=5\mathrm{/}12$ で実現する。したがって $u$ の最大値は2である。

一方、左端の $-{60}^{\circ }$ は含まれないので、$$2\sin (-{60}^{\circ })=-\sqrt{3}$$ は実現しない。ただし $s$ を0に近づけると $u$ は $-\sqrt{3}$ に近づく。したがって求める範囲は $${\displaystyle -\sqrt{3}<u\leqq 2}$$ である。

和 $s=x+y$ の値域を、直線 $x+y=s$ と領域の交わりから直接判定する。上限は放物線上で$$s\leqq x+(2x-3x^2)$$を最大化して求める。逆に、得られた区間内の $s$ が本当にすべて実現することを、$s$ の大きさに応じた具体的な点を与えて確認する。最後に三角関数を合成する。

(1)
定義域は $x>0,y>0$ である。各項を底10にそろえると$${100}^{{\log }_{10}x}=x^2,{\log }_{1000}{\left({\displaystyle \frac{1}{100}}\right)}^x=-{\displaystyle \frac{2x}{3}},{10}^{{\log }_{10}y-{\log }_{10}3}={\displaystyle \frac{y}{3}}\mathrm{.}$$したがって領域は$$0<x<{\displaystyle \frac{2}{3}},0<y\leqq 2x-3x^2$$である。

(2)
$s=x+y$ とおく。領域内では$$0<s\leqq x+(2x-3x^2)={\displaystyle \frac{3}{4}}-3{(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2\leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{.}$$この必要条件が十分でもあることを確認する。

$0<s\leqq 2\mathrm{/}3$ なら$$(x,y)=({\displaystyle \frac{s}{2}},{\displaystyle \frac{s}{2}})$$とすれば$${\displaystyle \frac{s}{2}}\leqq s-{\displaystyle \frac{3s^2}{4}}⟺s\leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}$$より領域内にある。また $2\mathrm{/}3<s\leqq 3\mathrm{/}4$ なら$$(x,y)=({\displaystyle \frac{1}{2}},s-{\displaystyle \frac{1}{2}})$$とすれば $0<y\leqq 1\mathrm{/}4=2x-3x^2$ である。よって$$0<s\leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}$$のすべてが実現する。

三角関数を合成すると$$u=2\sin ({360}^{\circ }s-{60}^{\circ })\mathrm{.}$$偏角の範囲は$$-{60}^{\circ }<{360}^{\circ }s-{60}^{\circ }\leqq {210}^{\circ }\mathrm{.}$$${90}^{\circ }$ は区間内にあるので最大値は2であり、最小側では $-{60}^{\circ }$ が含まれないため $-\sqrt{3}$ は下限にすぎない。したがって$$-\sqrt{3}<u\leqq 2$$である。