大阪大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $x_2-x_1=c$ であり、$y_1=e^{x_1}$, $y_2=e^{x_2}$ だから $$y_2=e^{x_2}=e^{x_1+c}=e^c{y}_1$$ である。また、2点 $P,Q$ を通る直線の傾きは $a$ なので $$a={\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}={\displaystyle \frac{y_1(e^c-1)}{c}}$$ である。よって $$y_1={\displaystyle \frac{ac}{e^c-1}}$$ であり、さらに $$y_2=e^c{y}_1={\displaystyle \frac{ac{e}^c}{e^c-1}}$$ である。したがって $${\displaystyle y_1={\displaystyle \frac{ac}{e^c-1}},y_2={\displaystyle \frac{ac{e}^c}{e^c-1}}}$$ である。

(2) $PQ=1$ である。横方向の差は $c$、縦方向の差は、直線の傾きが $a$ であることから $y_2-y_1=ac$ である。したがって $$1^2=P{Q}^2=c^2+(ac{)}^2=(1+a^2)c^2$$ である。$c=x_2-x_1>0$ だから $$c={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}}$$ である。特に $a\to \mathrm{\infty }$ のとき $c\to 0$ かつ $$ac={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{1+a^2}}}\to 1$$ である。

曲線 $C:y=e^x$ と $x$ 軸、および2直線 $x=x_1$, $x=x_2$ で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに回転するので、体積は$$V(a)=\pi {\int }_{x_1}^{x_2}(e^x{)}^{2}dx=\pi {\int }_{x_1}^{x_2}{e}^{2x}dx$$である。したがって$$V(a)={\displaystyle \frac{\pi }{2}}(e^{2x_2}-e^{2x_1})={\displaystyle \frac{\pi }{2}}(y_2^2-y_1^2)$$である。

(1) の結果を代入すると $$y_2^2-y_1^2={\left({\displaystyle \frac{ac}{e^c-1}}\right)}^2(e^{2c}-1)$$ $$=a^2{c}^2{\displaystyle \frac{(e^c-1)(e^c+1)}{(e^c-1{)}^2}}=a^2{c}^2{\displaystyle \frac{e^c+1}{e^c-1}}$$ である。よって $$V(a)={\displaystyle \frac{\pi }{2}}{a}^2{c}^2{\displaystyle \frac{e^c+1}{e^c-1}}$$ となる。したがって $${\displaystyle \frac{V(a)}{a}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}(ac)c{\displaystyle \frac{e^c+1}{e^c-1}}$$ である。

ここで$$\underset{c\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{e^c-1}{c}}=1,\underset{c\to 0}{\lim }(e^c+1)=2$$より$$\underset{c\to 0}{\lim }c{\displaystyle \frac{e^c+1}{e^c-1}}=2$$である。したがって$$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{V(a)}{a}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\cdot 1\cdot 2={\displaystyle \pi }$$である。

距離条件から $a$ を消去し、すべてを $c=x_2-x_1$ の式に直す。$a\to \mathrm{\infty }$ は $c\to 0+$ と同値であり、$$a={\displaystyle \frac{\sqrt{1-c^2}}{c}}$$となる。体積の式に代入した後は、指数関数の基本極限だけで評価する。

(1)
$y_2=e^c{y}_1$ であり、割線の傾きが $a$ だから$$a={\displaystyle \frac{y_2-y_1}{c}}={\displaystyle \frac{(e^c-1)y_1}{c}}\mathrm{.}$$従って$$y_1={\displaystyle \frac{ac}{e^c-1}},y_2={\displaystyle \frac{ac{e}^c}{e^c-1}}\mathrm{.}$$(2)
$PQ=1$ と $y_2-y_1=ac$ から$$c^2+a^2{c}^2=1.$$従って $0<c<1$ で$$a={\displaystyle \frac{\sqrt{1-c^2}}{c}}\mathrm{.}$$$a\to \mathrm{\infty }$ のとき、またそのときに限り $c\to 0+$ である。

回転体の体積は$$V(a)=\pi {\int }_{x_1}^{x_2}{e}^{2x}dx={\displaystyle \frac{\pi }{2}}(y_2^2-y_1^2)\mathrm{.}$$(1)を用いると$$V(a)={\displaystyle \frac{\pi }{2}}{a}^2{c}^2{\displaystyle \frac{e^c+1}{e^c-1}}\mathrm{.}$$よって$${\displaystyle \frac{V(a)}{a}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\sqrt{1-c^2}{\displaystyle \frac{c(e^c+1)}{e^c-1}}\mathrm{.}$$ここで$$\underset{c\to 0}{\lim }\sqrt{1-c^2}=1,\underset{c\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{e^c-1}{c}}=1,\underset{c\to 0}{\lim }(e^c+1)=2$$だから$${\displaystyle \underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{V(a)}{a}}=\pi }$$である。