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大阪大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

平面上の4点O，P，Q，Rが条件OP=2,OQ=3,∠OPQ=60∘,OP→+OQ→+OR→=0→を満たすとする．線分ORの長さとcos⁡∠PORの値を求めよ．

難易度4/ 10計算量4/ 10目安12分

ベクトル、図形と方程式　内積の利用、三角比の利用、ベクトル成分計算

方針

三角形 OPQ で与えられている角は ∠OPQ なので、まず余弦定理で PQ を求める。次に PQ2=∣OQ→−OP→∣2 から OP→⋅OQ→ を出す。条件は OR→=−(OP→+OQ→) と読めるので、OR は和ベクトルの長さ、cos⁡∠POR は OP→⋅OR→ で計算する。

解答

PQ=d とおく。三角形 OPQ において、OP=2、OQ=3、∠OPQ=60∘ である。余弦定理より OQ2=OP2+PQ2−2⋅OP⋅PQcos⁡60∘ だから 9=4+d2−2d である。したがって d2−2d−5=0 となり、d>0 より PQ=1+6 である。

次に内積を求める。p⃗=OP→、q⃗=OQ→ とおくと PQ2=∣q⃗−p⃗∣2=∣p⃗∣2+∣q⃗∣2−2p⃗⋅q⃗ である。よって (1+6)2=4+9−2p⃗⋅q⃗ であり、7+26=13−2p⃗⋅q⃗ だから p⃗⋅q⃗=3−6 である。

条件OP→+OQ→+OR→=0→より OR→=−(p⃗+q⃗) である。したがって OR2=∣p⃗+q⃗∣2=∣p⃗∣2+∣q⃗∣2+2p⃗⋅q⃗ =4+9+2(3−6)=19−26 となる。よって OR=19−26 である。

またOP→⋅OR→=p⃗⋅{−(p⃗+q⃗)}=−(∣p⃗∣2+p⃗⋅q⃗) =−(4+3−6)=6−7 である。したがってcos⁡∠POR=OP→⋅OR→OP⋅OR=6−7219−26である。

別解

解法2

方針

点 P を原点、半直線 PO を x 軸として座標を置く。余弦定理に相当する距離式から PQ を決め、ベクトル条件で R の座標を直接求めて長さと余弦を照合する。

解答

P=(0,0)、O=(2,0) と置き、Q を x 軸の上側に取る。s=PQ とするとQ=(s2,3s2)である。OQ=3 より(s2−2)2+(3s2)2=9,従ってs2−2s−5=0.s>0 だからs=1+6.ここから原点を O に移すとOP→=(−2,0),OQ→=(s2−2,3s2).条件よりOR→=−{OP→+OQ→}=(4−s2,−3s2).よって s2=2s+5 を使えばOR2=(4−s2)2+3s24=16−4s+s2=19−26.従ってOR=19−26.またOP→⋅OR→=−2(4−s2)=s−8=6−7.従ってcos⁡∠POR=6−7219−26.

総評

余弦定理とベクトル条件をつなぐ標準問題で、想定時間は12分程度。注意点は、与えられた角が ∠POQ ではなく ∠OPQ であることなので、最初に PQ を余弦定理で求める必要がある。R は図形的に描くより、OR→=−(OP→+OQ→) として和ベクトルの長さと内積で処理すると安全である。最後の余弦は符号が負になるため、鈍角であることも結果の妥当性確認になる。

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出典: 大阪大学 1998年度 前期 文系 第1問。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。