大阪大学 1998年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)
点$B$を原点とし$$\mathit{u}=\overrightarrow{BA},\mathit{v}=\overrightarrow{BC}$$とおく。定義から$$\overrightarrow{B{P}_k}={\displaystyle \frac{n-k}{n}}\mathit{u},\overrightarrow{B{Q}_k}={\displaystyle \frac{k}{n}}\mathit{v}\mathrm{.}$$従って$$\overrightarrow{P_k{Q}_k}={\displaystyle \frac{k}{n}}\mathit{v}-{\displaystyle \frac{n-k}{n}}\mathit{u}$$であり、$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{P_k{Q}_k}{\mathrm{\mid }}^2={\displaystyle \frac{k^2{a}^2+(n-k{)}^2{c}^2-2k(n-k)\mathit{u}\cdot \mathit{v}}{n^2}}\mathrm{.}$$(2)
同じ式を3頂点で巡回的に用いる。3つの交差項に現れる内積の和は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a^2+c^2-b^2}{2}}+{\displaystyle \frac{a^2+b^2-c^2}{2}}+{\displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a^2+b^2+c^2}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$従って、求める和は$${\displaystyle \frac{(n-k{)}^2+k^2-k(n-k)}{n^2}}(a^2+b^2+c^2)$$すなわち$${\displaystyle \frac{n^2-3nk+3k^2}{n^2}}(a^2+b^2+c^2)\mathrm{.}$$(3)
$T=a^2+b^2+c^2$とおくと、求める式は$${\displaystyle \frac{T}{n}}\sum _{k=1}^n(1-{\displaystyle \frac{3k}{n}}+{\displaystyle \frac{3k^2}{n^2}})\mathrm{.}$$和の公式を用いて$$T[1-{\displaystyle \frac{3(n+1)}{2n}}+{\displaystyle \frac{(n+1)(2n+1)}{2n^2}}]$$となる。従って極限は$${\displaystyle \frac{a^2+b^2+c^2}{2}}\mathrm{.}$$

3辺上の点を各頂点からの内分ベクトルで統一して表す。(2)では余弦定理で3つの内積の和だけを辺長へ変換し、(3)は有限和を割った式の各項の極限を取る。

(1)
$B$ を原点とし$$\vec{u}=\overrightarrow{BA},\vec{v}=\overrightarrow{BC}$$とおく。定義から$$\overrightarrow{B{P}_k}={\displaystyle \frac{n-k}{n}}\vec{u},\overrightarrow{B{Q}_k}={\displaystyle \frac{k}{n}}\vec{v}\mathrm{.}$$従って$$\overrightarrow{P_k{Q}_k}={\displaystyle \frac{k}{n}}\vec{v}-{\displaystyle \frac{n-k}{n}}\vec{u}$$であり、$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{P_k{Q}_k}{\mathrm{\mid }}^2={\displaystyle \frac{k^2{a}^2+(n-k{)}^2{c}^2-2k(n-k)\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{n^2}}\mathrm{.}$$(2)
同じ計算を3頂点で行う。余弦定理より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}& {\displaystyle =a^2+c^2-b^2,}\\ {\displaystyle 2\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CA}}& {\displaystyle =a^2+b^2-c^2,}\\ {\displaystyle 2\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}}& {\displaystyle =b^2+c^2-a^2\mathrm{.}}\end{array}$$3式を加えると内積の和は $(a^2+b^2+c^2)\mathrm{/}2$ である。従って求める和は$${\displaystyle \frac{k^2+(n-k{)}^2-k(n-k)}{n^2}}(a^2+b^2+c^2),$$すなわち$${\displaystyle \frac{n^2-3nk+3k^2}{n^2}}(a^2+b^2+c^2)\mathrm{.}$$(3)
$T=a^2+b^2+c^2$ とおくと、求める量は$$T\{1-{\displaystyle \frac{3(n+1)}{2n}}+{\displaystyle \frac{(n+1)(2n+1)}{2n^2}}\}\mathrm{.}$$従って$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=1}^n(\mathrm{\mid }\overrightarrow{P_k{Q}_k}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\overrightarrow{Q_k{R}_k}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\overrightarrow{R_k{P}_k}{\mathrm{\mid }}^2)={\displaystyle \frac{a^2+b^2+c^2}{2}}\mathrm{.}$$