大阪大学 1998年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)
倍角・加法公式から$$\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta ,$$$$\cos 4\theta =2{\cos }^{2}2\theta -1=8{\cos }^4\theta -8{\cos }^2\theta +1.$$従って$$f(x)=4x^3-3x,g(x)=8x^4-8x^2+1.$$(2)
$3\alpha =6\pi \mathrm{/}7$であり、$$4\alpha ={\displaystyle \frac{8\pi }{7}}=2\pi -{\displaystyle \frac{6\pi }{7}}$$だから$\cos 3\alpha =\cos 4\alpha$である。$x=\cos \alpha$とおくと$f(x)=g(x)$より$$8x^4-4x^3-8x^2+3x+1=0.$$左辺は$$(x-1)(8x^3+4x^2-4x-1)$$と因数分解できる。$\cos \alpha \mathrm{\ne }1$だから$$P(x)=8x^3+4x^2-4x-1$$とすれば$P(\cos \alpha )=0$である。

(3)
$0<2\pi \mathrm{/}7<\pi \mathrm{/}3$だから$${\displaystyle \frac{1}{2}}<\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{7}}<1.$$一方$$P^{\mathrm{\prime }}(x)=24x^2+8x-4.$$$x\geqq 1\mathrm{/}2$では$P^{\mathrm{\prime }}(x)>0$なので、$P$は$[1\mathrm{/}2,1]$で狭義増加する。また$$P\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)=-{\displaystyle \frac{29}{125}}<0,P\left({\displaystyle \frac{7}{10}}\right)={\displaystyle \frac{113}{125}}>0.$$$[1\mathrm{/}2,1]$にある$P$の零点はただ1つで、それが$\cos (2\pi \mathrm{/}7)$だから$$0.6<\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{7}}<\mathrm{0.7.}$$

$T_{m+1}(x)=2x{T}_m(x)-T_{m-1}(x)$ という余弦の漸化式から3倍角・4倍角を作る。(3)は $y=2\cos \alpha$ として三次式を簡単化し、区間 $[1,2]$ の単調性と $6\mathrm{/}5,7\mathrm{/}5$ の符号で挟む。

(1) $$T_0(x)=1,T_1(x)=x,T_{m+1}(x)=2x{T}_m(x)-T_{m-1}(x)$$と定める。加法定理より $x=\cos \theta$ のとき$$T_m(x)=\cos m\theta$$である。漸化式を順に計算すると$$T_3(x)=4x^3-3x,T_4(x)=8x^4-8x^2+1.$$従って$$f(x)=4x^3-3x,g(x)=8x^4-8x^2+1.$$(2)
$\alpha =2\pi \mathrm{/}7$ なら$$3\alpha ={\displaystyle \frac{6\pi }{7}},4\alpha =2\pi -{\displaystyle \frac{6\pi }{7}},$$よって $\cos 3\alpha =\cos 4\alpha$ である。$x=\cos \alpha$ として $f(x)=g(x)$ を整理すると$$(x-1)(8x^3+4x^2-4x-1)=0.$$$x\mathrm{\ne }1$ だから$$P(x)=8x^3+4x^2-4x-1$$とすればよい。

(3)
$y=2x$ とおくと $P(x)=0$ は$$h(y)=y^3+y^2-2y-1=0$$となる。$0<\alpha <\pi \mathrm{/}3$ より $1<y<2$ である。この区間では$$h^{\mathrm{\prime }}(y)=3y^2+2y-2>0$$だから $h$ は狭義増加する。また$$h\left({\displaystyle \frac{6}{5}}\right)=-{\displaystyle \frac{29}{125}}<0,h\left({\displaystyle \frac{7}{5}}\right)={\displaystyle \frac{113}{125}}>0.$$従って$${\displaystyle \frac{6}{5}}<2\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{7}}<{\displaystyle \frac{7}{5}},$$すなわち$$0.6<\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{7}}<\mathrm{0.7.}$$