大阪大学 2009年度 後期日程 第2次学力試験（数学理系）理系（後期）数学 第2問

(1) $\sqrt{3}$ が有理数であると仮定し$$\sqrt{3}={\displaystyle \frac{p}{q}}$$と既約分数で表す．ただし $p,q$ は正の整数とする．2乗して $p^2=3q^2$ だから $p^2$ は3の倍数であり，$p$ も3の倍数である．$p=3k$ とおくと$$9k^2=3q^2,q^2=3k^2$$となり，$q$ も3の倍数である．これは $p\mathrm{/}q$ が既約であることに反する．よって $\sqrt{3}$ は無理数である．

(2) $(1+\sqrt{3}{)}^2=4+2\sqrt{3}$ より$$0=f(1+\sqrt{3})=(4+a+b)+(2+a)\sqrt{3}\mathrm{.}$$もし $2+a\mathrm{\ne }0$ なら $\sqrt{3}=-(4+a+b)\mathrm{/}(2+a)$ は有理数となり，(1)に反する．したがって $2+a=0$ であり，さらに $4+a+b=0$ である．よって$$a=-2,b=-2$$である．

(3) $h(x)=x^2-2x-2$ とおく．(2)より $h(1+\sqrt{3})=0$ である．有理数係数の多項式の割り算により$$g(x)=h(x)q(x)+ux+v$$と書ける．ただし $q(x)$ は有理数係数の多項式，$u,v$ は有理数である．$x=1+\sqrt{3}$ を代入すると$$u(1+\sqrt{3})+v=0.$$$u\mathrm{\ne }0$ なら $\sqrt{3}=-(u+v)\mathrm{/}u$ が有理数となるので，(1)に反する．よって $u=0$，さらに $v=0$ である．したがって $g(x)=h(x)q(x)$ である．

一方$$h(1-\sqrt{3})=(1-\sqrt{3}{)}^2-2(1-\sqrt{3})-2=0$$だから$$g(1-\sqrt{3})=h(1-\sqrt{3})q(1-\sqrt{3})=0.$$

(3) では多項式除法を使わず，$g(1+\sqrt{3})$ を二項展開して $A+B\sqrt{3}$ の形に整理する．係数が有理数であるため $A,B$ も有理数であり，無理数性から $A=B=0$ が従う．$\sqrt{3}$ の符号を変えれば共役な値も0になる．

(1)

$\sqrt{3}=p\mathrm{/}q$ と既約分数で表せると仮定する．2乗して $p^2=3q^2$ だから $3\mid p$ である．$p=3m$ とおくと $q^2=3m^2$ となり $3\mid q$ でもある．これは既約性に反するので，$\sqrt{3}$ は無理数である．

(2) $$\begin{array}{rl}{\displaystyle 0}& {\displaystyle =(1+\sqrt{3}{)}^2+a(1+\sqrt{3})+b}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(4+a+b)+(2+a)\sqrt{3}}\end{array}$$である．(1)の無理数性より$$4+a+b=0,2+a=0$$だから$$a=b=-2$$である．

(3)

$g(x)$ の係数はすべて有理数である．$(1+\sqrt{3}{)}^j$ を二項展開し，$(\sqrt{3}{)}^2=3$ を用いて整理すれば，ある有理数 $A,B$ を用いて$$g(1+\sqrt{3})=A+B\sqrt{3}$$と書ける．仮定より左辺は0なので，(1)から$$A=B=0$$でなければならない．

同じ二項展開で $\sqrt{3}$ を $-\sqrt{3}$ に替えると$$g(1-\sqrt{3})=A-B\sqrt{3}$$となる．すでに $A=B=0$ だから$$g(1-\sqrt{3})=0$$である．