大阪大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
両辺に $y(y+1)\cdots (y+n)(y+n+1)$ を掛けると $n+1=a(y+n+1)+by$ である。右辺を整理すると $(a+b)y+a(n+1)$ であるから，恒等式として成り立つためには $a+b=0,a(n+1)=n+1$ であればよい。$n$ は自然数なので $n+1\mathrm{\ne }0$ であり，$a=1,b=-1$ である。

(2)
数学的帰納法で示す。$n=1$ のとき，求める等式は $${\displaystyle \frac{1}{x(x+1)}}={\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{x+1}}$$ であり，成り立つ。

ある自然数 $n$ について$${\displaystyle \frac{n!}{x(x+1)\cdots (x+n)}}=\sum _{r=0}^n(-1{)}^r{\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_r}{x+r}}$$が成り立つと仮定する。この式で $x$ を $x+1$ に置き換えると$${\displaystyle \frac{n!}{(x+1)(x+2)\cdots (x+n+1)}}=\sum _{r=0}^n(-1{)}^r{\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_r}{x+1+r}}$$である。

(1) の結果を $y=x$ に適用すると$${\displaystyle \frac{n+1}{x(x+1)\cdots (x+n)(x+n+1)}}={\displaystyle \frac{1}{x(x+1)\cdots (x+n)}}-{\displaystyle \frac{1}{(x+1)(x+2)\cdots (x+n+1)}}$$である。両辺に $n!$ を掛けると$${\displaystyle \frac{(n+1)!}{x(x+1)\cdots (x+n+1)}}={\displaystyle \frac{n!}{x(x+1)\cdots (x+n)}}-{\displaystyle \frac{n!}{(x+1)(x+2)\cdots (x+n+1)}}\mathrm{.}$$ここに帰納法の仮定と，その $x+1$ 版を代入する。右辺は$$\sum _{r=0}^n(-1{)}^r{\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_r}{x+r}}-\sum _{r=0}^n(-1{)}^r{\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_r}{x+1+r}}$$である。第2の和で添字を $r+1$ から $r$ にずらすと$${\displaystyle \frac{1}{x}}+\sum _{r=1}^n(-1{)}^r{\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_r+{}_n{\mathrm{C}}_{r-1}}{x+r}}+(-1{)}^{n+1}{\displaystyle \frac{1}{x+n+1}}$$となる。パスカルの関係 $${}_n{\mathrm{C}}_r+{}_n{\mathrm{C}}_{r-1}={}_{n+1}{\mathrm{C}}_r$$ より，これは $$\sum _{r=0}^{n+1}(-1{)}^r{\displaystyle \frac{{}_{n+1}{\mathrm{C}}_r}{x+r}}$$ である。したがって $n+1$ でも成り立つ。よって数学的帰納法により，すべての自然数 $n$ について$${\displaystyle \frac{n!}{x(x+1)\cdots (x+n)}}=\sum _{r=0}^n(-1{)}^r{\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_r}{x+r}}$$が成り立つ。

(1) は解法1と同じである。(2)の両辺に共通分母を掛け，右辺を高々 $n$ 次の多項式とみなす。$x=0,-1,\dots ,-n$ の $n+1$ 点で値を調べると，毎回ただ1項だけが残って $n!$ となる。高々 $n$ 次の2多項式が $n+1$ 点で一致することから恒等式を得る。

(1) 解法1と同様に $a=1,b=-1$ である。

(2)
多項式比較による別解
示したい等式の両辺に $D=x(x+1)\cdots (x+n)$ を掛ける。右辺は $$\sum _{r=0}^n(-1{)}^r{}_n{\mathrm{C}}_r{\displaystyle \frac{D}{x+r}}$$ となる。これは $x$ の高々 $n$ 次式である。$x=-s$ $s=0,1,\dots ,n$ を代入すると，和のうち $r=s$ 以外の項は因子 $x+s$ を含んで0になる。残る項は$$(-1{)}^s{}_n{\mathrm{C}}_s{{\displaystyle \frac{D}{x+s}}\mid }_{x=-s}=(-1{)}^s{}_n{\mathrm{C}}_s\{(-1{)}^{s}s!(n-s)!\}=n!$$である。高々 $n$ 次式が $n+1$ 個の値 $x=0,-1,\dots ,-n$ で定数 $n!$ と一致するので，恒等的に $n!$ に等しい。これで同じ等式が示される。