大阪大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
示したい不等式は $$\log t<-{\displaystyle \frac{2(1-t)}{1+t}}$$ と同値である。そこで $$F(t)=-{\displaystyle \frac{2(1-t)}{1+t}}-\log t$$ とおく。$0<t<1$ において$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }}(t)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4}{(1+t{)}^2}}-{\displaystyle \frac{1}{t}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4t-(1+t{)}^2}{t(1+t{)}^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{(t-1{)}^2}{t(1+t{)}^2}}<0}\end{array}$$である。また $F(1)=0$ である。$F$ は増加する $t$ に対して減少するので、$0<t<1$ では $F(t)>F(1)=0$ となる。よって $$\log t<-{\displaystyle \frac{2(1-t)}{1+t}}$$ であり、両辺を2で割って $${\displaystyle \frac{\log t}{2}}<-{\displaystyle \frac{1-t}{1+t}}$$ が成り立つ。

(2)
曲線 $y=e^{kx}$ の導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=k{e}^{kx}$ である。したがって、点 $P(a,e^{ka})$ における接線は $y=e^{ka}+k{e}^{ka}(x-a)$ であり、点 $Q(-a,e^{-ka})$ における接線は $y=e^{-ka}+k{e}^{-ka}(x+a)$ である。

この2直線の交点の $x$ 座標を $X$ とする。2つの接線の $y$ 座標を等しくすると $$e^{ka}\{1+k(X-a)\}=e^{-ka}\{1+k(X+a)\}$$ である。ここで $A=ka>0$ とおくと $$e^A(1-A+kX)=e^{-A}(1+A+kX)$$ である。整理して $$kX(e^A-e^{-A})=e^{-A}(1+A)-e^A(1-A)$$ を得る。両辺を $e^A$ で割ると $$kX(1-e^{-2A})=A-1+(1+A)e^{-2A}$$ である。

ここで $t=e^{-2A}$ とおくと、$A>0$ より $0<t<1$ であり、$A=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\log t$ である。(1) より $${\displaystyle \frac{\log t}{2}}<-{\displaystyle \frac{1-t}{1+t}}$$ だから $$A>{\displaystyle \frac{1-t}{1+t}}$$ である。よって $A(1+t)>(1-t)$ であり、これは $A-1+(1+A)t>0$ を意味する。すなわち $A-1+(1+A)e^{-2A}>0$ である。

一方、$k>0$ かつ $1-e^{-2A}>0$ である。したがって $X>0$ であり、接線の交点の $x$ 座標は常に正である。

(1) は $-\log t$ を ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ の積分とみなし、区間内の対称な2点で逆数を組にして相加相乗平均を使う。(2) は接線の交点を求め、得られた分子を (1) と同じ不等式へ変形する。

(1) $$-\log t={\int }_t^1{\displaystyle \frac{dx}{x}}\mathrm{.}$$$x$ と $1+t-x$ はともに正で、和は $1+t$ である。相加相乗平均から$${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{1+t-x}}\geqq {\displaystyle \frac{4}{1+t}},$$等号は $$x={\displaystyle \frac{1+t}{2}}$$ の1点でしか起こらない。区間を対称な2点ずつ組にして積分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle -\log t}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_t^1({\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{1+t-x}})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle >{\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_t^1{\displaystyle \frac{4}{1+t}}dx={\displaystyle \frac{2(1-t)}{1+t}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$${\displaystyle \frac{\log t}{2}}<-{\displaystyle \frac{1-t}{1+t}}\mathrm{.}$$(2)
$A=ka>0$ とする。2本の接線を連立し、その交点の $x$ 座標を $X$ とすると$$kX={\displaystyle \frac{A-1+(1+A)e^{-2A}}{1-e^{-2A}}}\mathrm{.}$$分母は正である。$t=e^{-2A}$ とおけば$$A=-{\displaystyle \frac{\log t}{2}}>{\displaystyle \frac{1-t}{1+t}}$$だから$$A(1+t)-(1-t)>0.$$左辺は$$A-1+(1+A)e^{-2A}$$に等しい。したがって $kX>0$ であり、$k>0$ より$$X>0$$である。