大阪大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
楕円の中心を $(a,c)$ とおく。座標軸に平行な主軸をもち、$y$ 軸に接するため、横方向の半径は $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ である。また $x$ 軸に接するため、縦方向の半径は $\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }$ である。したがって楕円は $${\displaystyle \frac{(x-a{)}^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{(y-c{)}^2}{c^2}}=1$$ と書ける。ただし $a\mathrm{\ne }0$、$c\mathrm{\ne }0$ である。

この楕円が点 $A(1,2)$ を通る条件は $${\displaystyle \frac{(1-a{)}^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{(2-c{)}^2}{c^2}}=1$$ である。ここで第2項は常に0以上である。また任意の $w\geqq 0$ に対して $${\displaystyle \frac{(2-c{)}^2}{c^2}}=w$$ を満たす実数 $c\mathrm{\ne }0$ は存在する。実際、$w\geqq 0$ として $${\displaystyle \frac{2-c}{c}}=\pm \sqrt{w}$$ とおけばよく、少なくとも一方から $$c={\displaystyle \frac{2}{1\pm \sqrt{w}}}$$ が得られる。

したがって、点 $A$ を通る楕円が存在するための必要十分条件は $1-{\displaystyle \frac{(1-a{)}^2}{a^2}}\geqq 0$ である。これは $(1-a{)}^2\leqq a^2$ と同値であり、整理すると $1-2a\leqq 0$ である。よって $a\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

(2)
(1) の式で $$v=1-{\displaystyle \frac{(1-a{)}^2}{a^2}}={\displaystyle \frac{2a-1}{a^2}}$$ とおく。点 $A$ を通る楕円がちょうど2つ存在するには、方程式 $${\displaystyle \frac{(2-c{)}^2}{c^2}}=v$$ が $c$ についてちょうど2つの解をもてばよい。

(1) より存在には $$a\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$$ が必要である。$$a={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ では $v=0$ となり、$c=2$ の1つだけである。また $v=1$ となるのは $${\displaystyle \frac{2a-1}{a^2}}=1$$ すなわち $(a-1{)}^2=0$ より $a=1$ のときで、このときも $c=1$ の1つだけである。したがって、ちょうど2つ存在するのは $$a>{\displaystyle \frac{1}{2}},a\mathrm{\ne }1$$ のときである。

この範囲では $0<v<1$ であり、2つの解は $$c_1={\displaystyle \frac{2}{1+\sqrt{v}}},c_2={\displaystyle \frac{2}{1-\sqrt{v}}}$$ である。2つの中心 $B,C$ は同じ直線 $x=a$ 上にあるので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle BC}& {\displaystyle =\mid {\displaystyle \frac{2}{1-\sqrt{v}}}-{\displaystyle \frac{2}{1+\sqrt{v}}}\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4\sqrt{v}}{1-v}}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $$a>{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ なので $a>0$ であり、$$\sqrt{v}={\displaystyle \frac{\sqrt{2a-1}}{a}},1-v=1-{\displaystyle \frac{2a-1}{a^2}}={\displaystyle \frac{(a-1{)}^2}{a^2}}$$である。したがって $$BC={\displaystyle \frac{4a\sqrt{2a-1}}{(a-1{)}^2}}$$ である。

点 $A(1,2)$ から直線 $x=a$ までの距離は $\mathrm{\mid }a-1\mathrm{\mid }$ であるから、三角形 $ABC$ の面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(a)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}BC\mathrm{\mid }a-1\mathrm{\mid }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{4a\sqrt{2a-1}}{(a-1{)}^2}}\cdot \mathrm{\mid }a-1\mathrm{\mid }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2a\sqrt{2a-1}}{\mathrm{\mid }a-1\mathrm{\mid }}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって定義域は $$a>{\displaystyle \frac{1}{2}},a\mathrm{\ne }1$$ であり、$$S(a)={\displaystyle \frac{2a\sqrt{2a-1}}{\mathrm{\mid }a-1\mathrm{\mid }}}$$ である。

グラフを調べる。まず ${\displaystyle \frac{1}{2}}<a<1$ では $$S(a)={\displaystyle \frac{2a\sqrt{2a-1}}{1-a}}$$ である。このとき $$S^{\mathrm{\prime }}(a)=-{\displaystyle \frac{2(a^2-3a+1)}{(a-1{)}^2\sqrt{2a-1}}}$$ である。区間 $${\displaystyle \frac{1}{2}}<a<1$$ では $a^2-3a+1<0$ なので $S^{\mathrm{\prime }}(a)>0$ である。したがってこの枝は単調増加し、$$a\to {\displaystyle \frac{1}{2}}+0\text{ で }S(a)\to 0,a\to 1-0\text{ で }S(a)\to \mathrm{\infty }$$ である。

次に $a>1$ では $$S(a)={\displaystyle \frac{2a\sqrt{2a-1}}{a-1}}$$ である。このとき $$S^{\mathrm{\prime }}(a)={\displaystyle \frac{2(a^2-3a+1)}{(a-1{)}^2\sqrt{2a-1}}}$$ である。$a>1$ で $a^2-3a+1=0$ となるのは $$a={\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}}$$ だけである。したがって、$$1<a<{\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}}$$ では減少し、$$a>{\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}}$$ では増加する。

最小値は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S\left({\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}}\right)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2\cdot {\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}}\sqrt{2+\sqrt{5}}}{{\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1+\sqrt{5})\sqrt{2+\sqrt{5}}}\end{array}$$である。また$$a\to 1+0\text{ で }S(a)\to \mathrm{\infty },a\to \mathrm{\infty }\text{ で }S(a)\to \mathrm{\infty }$$である。

以上より、グラフは次の特徴をもつ。定義域は $({\displaystyle \frac{1}{2}},1)\cup (1,\mathrm{\infty })$。左の枝は $({\displaystyle \frac{1}{2}},1)$ で単調増加し、$a=1$ を縦の漸近線として無限大に発散する。右の枝は $a=1$ の右で無限大から始まり、$$a={\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}}$$ で最小値 $(1+\sqrt{5})\sqrt{2+\sqrt{5}}$ をとった後、再び無限大へ増加する。

中心を $(a,c)$ として楕円条件を $c$ の2次方程式へ直す。判別式で存在個数を判定し、2根の差を根と係数の関係から求めて三角形の面積を出す。

(1)
中心が $(a,c)$ なら、両座標軸に接する楕円は$${\displaystyle \frac{(x-a{)}^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{(y-c{)}^2}{c^2}}=1$$である。点 $(1,2)$ を代入して$${\displaystyle \frac{(2-c{)}^2}{c^2}}=1-{\displaystyle \frac{(1-a{)}^2}{a^2}}={\displaystyle \frac{2a-1}{a^2}}$$を得る。左辺は非負なので $2a-1\geqq 0$ が必要であり、逆にこの条件なら $c$ を選べる。よって$$a\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$(2)$$v={\displaystyle \frac{2a-1}{a^2}}$$とおく。中心の $y$ 座標は$$(1-v)c^2-4c+4=0$$の根である。$$a>{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ では $v>0$ であり、$v=1$ は $a=1$ のときだけである。したがって楕円がちょうど2つある範囲は$$a>{\displaystyle \frac{1}{2}},a\text{neqq}1.$$2根を $c_1,c_2$ とする。判別式は $16v$ だから$$\mathrm{\mid }{c}_1-c_2\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{4\sqrt{v}}{1-v}}\mathrm{.}$$中心を結ぶ線は $x=a$ で、点 $A(1,2)$ からこの直線までの距離は $\mathrm{\mid }a-1\mathrm{\mid }$ である。ゆえに$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(a)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }a-1\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }{c}_1-c_2\mathrm{\mid }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2a\sqrt{2a-1}}{\mathrm{\mid }a-1\mathrm{\mid }}}\mathrm{.}}\end{array}$$微分すると$$S^{\mathrm{\prime }}(a)=\{\begin{array}{ll}-{\displaystyle \frac{2(a^2-3a+1)}{(a-1{)}^2\sqrt{2a-1}}},& {\displaystyle \frac{1}{2}}<a<1,\\ {\displaystyle \frac{2(a^2-3a+1)}{(a-1{)}^2\sqrt{2a-1}}},& a>1.\end{array}$$左の枝は0から無限大へ単調増加する。右の枝は$$a={\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}}$$まで減少し、その後増加する。この点での最小値は$$(1+\sqrt{5})\sqrt{2+\sqrt{5}}\mathrm{.}$$$a=1$ は縦の漸近線である。