大阪大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験（数学理系）理系数学 第3問

$$\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{n}}$$ とおく。隣り合う2つの半径のなす角は $2\alpha$ である。1つの区画だけを考え、角の二等分線を $x$ 軸に取ると、2つの接点を $(\cos \alpha ,\sin \alpha ),(\cos \alpha ,-\sin \alpha )$ とおける。

この2点でそれぞれ半径に接する放物線は、$x$ 軸に関して対称である。したがって $x=A{y}^2+B$ と書ける。点 $(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ を通るので $$\cos \alpha =A{\sin }^2\alpha +B$$ である。

また、この点での接線は半径 $O{P}_i$ と一致する。曲線 $x=A{y}^2+B$ について $${\displaystyle \frac{dx}{dy}}=2Ay$$ だから、接線の傾きは $${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{1}{2Ay}}$$ である。$y=\sin \alpha$ で接線の傾きは $\tan \alpha$ なので、$${\displaystyle \frac{1}{2A\sin \alpha }}=\tan \alpha$$ である。よって $$A={\displaystyle \frac{\cos \alpha }{2{\sin }^2\alpha }}$$ であり、先ほどの通過条件から $$B={\displaystyle \frac{\cos \alpha }{2}}$$ である。したがって放物線は $$x={\displaystyle \frac{\cos \alpha }{2{\sin }^2\alpha }}{y}^2+{\displaystyle \frac{\cos \alpha }{2}}$$ である。

この1区画の面積を求める。上半分 $0\leqq y\leqq \sin \alpha$ では、半径の直線は $$x={\displaystyle \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }}y$$ である。放物線はこの直線より右側にあるので、1区画の面積は上下対称性により$$2{\int }_0^{\sin \alpha }({\displaystyle \frac{\cos \alpha }{2{\sin }^2\alpha }}{y}^2+{\displaystyle \frac{\cos \alpha }{2}}-{\displaystyle \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }}y)dy$$である。計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle 2{[{\displaystyle \frac{\cos \alpha }{6{\sin }^2\alpha }}{y}^3+{\displaystyle \frac{\cos \alpha }{2}}y-{\displaystyle \frac{\cos \alpha }{2\sin \alpha }}{y}^2]}_0^{\sin \alpha }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2({\displaystyle \frac{\sin \alpha \cos \alpha }{6}}+{\displaystyle \frac{\sin \alpha \cos \alpha }{2}}-{\displaystyle \frac{\sin \alpha \cos \alpha }{2}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sin \alpha \cos \alpha }{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$同じ面積の区画が $n$ 個あるので、$$S_n=n\cdot {\displaystyle \frac{\sin \alpha \cos \alpha }{3}}={\displaystyle \frac{n}{6}}\sin 2\alpha ={\displaystyle \frac{n}{6}}\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$$である。したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{n}{6}}\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$である。

一つの区画と放物線

一つの扇形を角の二等分線に沿って座標化し，縦座標を $\sin \alpha$ で規格化する。放物線と半径の差が完全平方になることを使い，積分を即座に計算する。

$$\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{n}}$$ とする。一つの区画で角の二等分線を $x$ 軸に取ると，放物線は$$x={\displaystyle \frac{\cos \alpha }{2}}(1+{\displaystyle \frac{y^2}{{\sin }^2\alpha }})$$であり，上側の半径は$$x=y\cot \alpha$$である。ここで $v=y\mathrm{/}\sin \alpha$ と置けば，両者の差は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{a}}-x_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{u}\mathrm{s}}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\cos \alpha }{2}}(1+v^2)-v\cos \alpha }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\cos \alpha }{2}}(1-v{)}^2\mathrm{.}}\end{array}$$したがって上下を合わせた一区画の面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A_n}& {\displaystyle =2{\int }_0^{\sin \alpha }(x_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{a}}-x_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{u}\mathrm{s}})dy}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sin \alpha \cos \alpha {\int }_0^1(1-v{)}^{2}dv}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sin \alpha \cos \alpha }{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$回転対称な区画が $n$ 個あるので$$S_n={\displaystyle \frac{n}{3}}\sin \alpha \cos \alpha ={\displaystyle \frac{n}{6}}\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}\mathrm{.}$$よって$${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n={\displaystyle \frac{\pi }{3}}}$$である。差が完全平方になるため，被積分関数が常に非負であることも同時に確認できる。